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群 论 第二章 群的基本知识 第二章 群的基本知识 本章首先介绍群的基本知识，包括群的概念，子 群，同态与同构，共轭类，不变子群与商群，群的 直积，最后介绍几个简单的群例。 本章分以下几节: 1, 群的概念, 2, 子群，同态与同构 3, 共轭类，不变子群与商群 4, 群的直积与外直积 5, 某些简单群 §2.1 群的概念 群是数学元素的一种特殊的集合，它要求集合中两 个元素满足某些组合规则，这集合具有代数结构， 组合规则（常称为乘法）它可以是普通乘法的推广 也可以是矩阵相乘或两元素置换等。 1.群的定义 群是一种具有代数结构的数学元素的集合。它的组合规则（乘法）满足以下四条： （1）封闭性 集合中任意两个元素的乘积（包括自乘）都在此集合内，取集合为G (2)乘法满足结合律 即 §2.1 群的概念 （3),存在单位元素 集合中存在一个单位元素或称恒等元素 (Identity Element)而且只存在一个单位元素e (4), 集合总任何元素的逆元素在集合中，a 的逆元 为 ， 有 是唯一的。 在一定乘法规则下满足以上四条的具有代数结构的集合称 为群。在四条中没有要求满足交换律，如果一个群其元素乘 法满足交换律称为交换群或Abel群 群元的数目称为群的阶，记为g。g为有限称为有限群。元 素无限称为无限阶群。群元可数的无限群为离散无限群，而 群元素不可数的称为连续群。 §2.1 群的概念 2. 乘法表与群示例 如果我们知道群中每两个元素的乘积，则群 结构就确定了。这乘积可以排列成一个乘法 表，例如G中有元素e,a,b,c,d，乘法表为 §2.1 群的概念 显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表 中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表 的重排定理。 若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称 的。下面给出几个例子 例1 乘法为普通数乘法，单位元素为 ,a=-1逆元素为 自 己，其乘法定律 ee=e, aa=e, ea=ae=a, 这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维 空间矢量 作用 e保持 不变的恒等变换 a 使 反演的反演变换，则 构成反演群。 我们称群G与反演群同构。 §2.1 群的概念 例2 利用普通乘法构成群，乘法表为 ￤ 1 i -1 -i  1 ￤ 1 i -1 -i i ￤ i - 1 -i 1 -1 ￤ -1 - i 1 i - i ￤ - i 1 i -1 从表中看出，相对主对角线是对称的，因此它是一个Abel 群。另外看到这群元素可以用一个元素多次幂得到，这元素 为i，即 这样由一个元素多次幂组成群称循环群,为四阶循环群 §2.1 群的概念 对元素a形成n阶循环群为 的逆元素为 由 定理2.1 重排定理：设群 当 取遍所有 的元素时， 给出并仅一次给出G中的所有元素。 重排定理是关于群乘法的重要定理，它指出每一个 群元素在乘法表的每一行（或每一列）中被引出一 次也仅一次。 例3 所有的整数 乘法取为普通加法时，构成一个群，这群也是一个Abel群，其单位元素为0，n的逆元素为-n 全部正整数就不构成一个群，因为它没有逆元素。 §2.1 群的概念 例4 三客体的置换群(permutation group) ，它是简单的非Abel群，三客体编号为1，2，3排成一列，排列次序作一个变化， 看成同一种置换，即置换主要为元素对应变化，不在排列次序，三客体置换群有以下六个元素： 元素个数为3！=6，它是一个6阶置换群表为 ， 也称3客体对称群。 §2.1 群的概念 n个客体的置换群元素个数为n!，表为 ，也称n