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第二章： 控制系统的数学模型 授课人：李会军 本章内容提纲 内容提纲 拉普拉斯变换的基本知识 控制系统的数学模型 控制系统的典型环节及其传递函数 控制系统的结构图 信号流图与梅森公式 拉普拉斯反变换 部分分式展开法 一般来说，象函数 是拉普拉斯算子 的有理代数分式，可以表示如下： 式中，系数 都是常实数， 是正整数，且 。可以将象函数 的分母进行因式分解，进而写成部分分式之和的形式： 其中， 为待定常数(可以是实数，也可是是复数) 拉普拉斯反变换 部分分式展开法 当 无重根 称为 在极点 处的留数，计算公式如下： 其中， 是 对 的一阶导数。对 求拉氏变换，可得原函数为： 拉普拉斯反变换 部分分式展开法 示例1：求 的原函数 解： 将 分母进行因式分解： 象函数可以重新变换如下： 根据留数定理，可得： 可得原函数为： 拉普拉斯反变换 部分分式展开法 示例2：求 的原函数 解： 将 的分母因式分解为： 的极点为一对共轭复数，仍可以按照例1的方法求解： 其中： 拉普拉斯反变换 部分分式展开法 系统的原函数为： 拉普拉斯反变换 部分分式展开法 如果 的分母是二次多项式，并能配成两项平方和的形式，可以将分母作为一个整体求解： 根据常用函数的拉式变换： 可知： 拉普拉斯反变换 部分分式展开法 有重根 假设 有 个重根 ，则 可以写为： 其中， 为 的重极点， 为 的 个非重极点； 为待定常数， 可按照无重根的方式求解： 拉普拉斯反变换 部分分式展开法 可按如下方式求出： 根据拉式变换 和复域位移定理 可知： 拉普拉斯反变换 部分分式展开法 示例3：求 的原函数 解： 可知，分母 有4个根，将 展开为部分分式： 根据公式： 拉普拉斯反变换 部分分式展开法 因此，原函数为： 线性系统的时域数学模型——微分方程 微分方程列写的步骤 根据实际工作情况，确定系统和系统中各元件的输入、输出变量； 从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，根据物理、化学定律，列写出各个元件输入输出变量之间的微分方程式； 消除中间变量，得到系统输入、输出变量之间的微分方程； 对微分方程进行标准化，将与输入有关的各项放到等号的右侧，与输出有关的各项放到等号左侧，并按阶数依次递减排列； 线性系统的时域数学模型——微分方程 微分方程列写示例 示例4：列写出如图所示的电路输入电压与输出电压之间的微分方程式 解：由基尔霍夫定律可以写出回路方程如下所示： 消除中间变量，并将微分方程进行标准化，则可得电路系统的输入输出 关系的微分方程如下所示： 线性系统的时域数学模型——微分方程 微分方程列写示例 示例5：列写出如图所示的弹簧系统所受外力和滑块位移之间的微分方程式 解：假设滑块的速度和加速度为 ，由牛顿运动 定理可知： 其中， 是阻尼力； 是阻尼系数； 是弹簧弹力； 是弹性系数。消去中间变量，将微分 · 方程整理后系统的微分方程为： 线性系统的时域数学模型——微分方程 线性定常微分方程的求解步骤 首先，对微分方程两端进行拉普拉斯变换； 然后，将给定的初始条件与输入信号带入方程； 接着，写出输出量的拉普拉斯变换； 最后，通过拉普拉斯反变换求出系统输出的时域解； 线性系统的时域数学模型——微分方程 线性定常微分