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第4章 根轨迹分析法 闭环系统的稳定性及性能主要由闭环极点（特征方程根）决定的。一个较完善的闭环控制系统其特征方程一般为高阶，直接用时域法求解困难。 4．1 根轨迹的基本概念 开环有两个极点： p1= 0， p2=－1 开环没有零点。 （1）根轨迹增益Kg从0→∞时，根轨迹均在s平面左半部，在所有的Kg值下系统都是稳定的。 （2）当0Kg 0.25时，闭环特征根为实根，系统呈过阻尼状态，其阶跃响应为非周期过程。 （3）当Kg=0.25时，闭环特征根为相同负实根，系统处于临界阻尼状态，其阶跃响应为非周期过程。 （4）当Kg0.25时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态，其阶跃响应为衰减的振荡过程。 （5）有一个为0的开环极点，系统为Ⅰ型系统，其阶跃作用下的稳态误差ess为零。 二、根轨迹方程 绘制根轨迹的实质，在于由开环零极点在s平面寻找闭环特征根的位置。 三、根轨迹的幅值条件方程和相角条件方程 四、幅值条件和相角条件应用 2. 用幅值条件确定Kg的值 4．2 绘制根轨迹的基本规则 4．3 控制系统根轨迹的绘制 4．4 控制系统的根轨迹分析 系统的阶跃响应与闭环零、极点的分布密切相关。 根据根轨迹→求已知参数（一般为σ%、 ts）下的主导闭环极点→分析系统性能。 分析可包括： 1. 由给定参数确定闭环零、极点； 2. 分析参数变化对系统稳定性的影响； 3. 计算系统的瞬态性能和稳态性能指标； 4. 根据性能要求确定系统的参数。 ［例4.8］ 控制系统如图所示，当Kg=4时，试绘制开环极点p变化时参数根轨迹。 解 当Kg=4时，系统的开环传递函数为 系统的闭环传递函数为 闭环特征方程为 GDK(s)也可用特征方程中不含参量的各项去除特征方程求得。 由于 所以系统的等效开环传递函数为 GDK(s)与原系统的开环传递函数GK(s)在闭环特征方程上是等价的，因此称为等效开环传递函数。GDK(s)中的参数称为等效根轨迹增益。 按照根轨迹绘图规则，可以绘制等效系统的等效根轨迹p从零变化到无穷大时等效系统的根轨迹。 在p=0时，Kg从零变化到无穷大时的根轨迹 三、多回路系统的根轨迹 实际中，许多系统为抑制干扰以提高系统的性能，除了有主反馈闭环外，还设置了内环通道，这就是多回路系统。例如在机电调速系统中，通常是除了速度反馈外，还有电流反馈形成的内环，亦称双闭环系统。在工业过程控制中也有类似的双闭环控制系统，如串级控制系统。多回路系统的根轨迹的绘制较单回路要复杂一些。 系统的开环传递函数为 GK(s)的零点包括G1(s)、G2(s)和G3(s)的零点。其中，G2(s)的零点和G/2(s)的零点相同。GK(s)的极点包括G1(s)、G2(s)和G3(s)的极点。 G2(s)的极点决定于 是一个单回路负反馈系统的根轨迹方程，称为局部反馈回路的根轨迹方程 。 或 如果需要绘制的G1(s)或G3(s)的某个参数变化时多回路系统的根轨迹或参数根轨迹，则G2(s)的极点是比较容易得到的。例如，通过解析法求得或根据式（4.41）绘制局部反馈回路的根轨迹或参数根轨迹而确定。 如果需要绘制的是G2(s)的某个参数变化时多回路系统的根轨迹或参数根轨迹，则G2(s)的极点难以确定。因为这个参数变化时G2(s)的极点也跟着变化。这样，应根据多回路系统的特征方程直接绘制该参数变化时多回路系统的参数根轨迹。 四、正反馈系统的根轨迹 负反馈是自动控制系统的一个重要特点。但在有些系统中，内环是一个正反馈回路。这种局部正反馈的结构可能是控制对象本身的特性，也可能是为满足系统的某种性能要求在设计系统时加进的。 在利用根轨迹法对系统进行分析或综合时，有时需绘制正反馈系统的根轨迹。这时，绘制根轨迹的条件和规则与上述有所区别。 在绘制正反馈回路的根轨迹时，规则修改如下。 除了上述3项规则修改外，其他规则均不变。 规则5 在实轴的线段上存在根轨迹的条件是：其右边的开环零、极点数目之和为偶数。 规则7 根轨迹的出射角和入射角的计算公式为 规则4 n-m条渐进线与实轴的夹角的计算公式为： ［例4.9］ 已知单位正反馈系统的开环传递函数，试绘制系统的根轨迹。 解 （1）根轨迹起点在0，－1，－5。共有三支，终点均在无穷远处。 （2）趋于无穷远处的根轨迹的渐近线与实轴相交于－2，夹角由（4-53）计算，结果为0°，120°，240° （3）实轴上根轨迹的区间：［－5，－1］和［0，∞］。 即 解得 s=－3.52，－0.48（舍去） （4）根轨迹的分离点按下式计