表象理论.ppt

然而坐标仅是微观粒子所具有的各种力学量中的一个。自然可以提出这样的问题：是否可以用以其它力学量作为自变量的波函数来描述同一个状态呢? 用F表示任意一个力学量，它的本征值为F 1, F 2, …，相应的本征函数为 数列{ }和 是等价的。因此我们可以用数列{ }代替 来描述同一个状态。 其次，可以看出在数列{ }和本征值集合{ }之间，存在着一一对应的关系，即我们可以把数列{ }看成是以力学量 的本征值 作为自变量的一个函数。 因此，我们称数列{ }为在力学量F表象中的波函数。这样式(3.1.2)就是波函数从“F”表象到“x”表象的变换，而(3.1.3)就是其逆变换。 坐标x的取值几率分布为 力学量F的取值几率分布为 这就是说，对于一个给定的状态，如果知道了它在某一力学量表象中的波函数，就可以直接写出该力学量的取值几率分布。这样，如果我们已经从实验上测得了某一力学量F的取值几率分布，那么采用F表象，将便于理论和实验的对比。 为了应用方便，我们把在F表象中的波函数——数列{ }，表示为单列矩阵的形式： 算符 的一个本征函数 在F表象（即自身表象）中的形式。此时在式(3.1.3)中取 ，有： 在前面的讨论中，为了叙述简洁，我们把坐标表象中的波函数说成只是x的函数。实际上x应代表全部坐标变量，对于在三维空间中运动的粒子．就是x,y,z，因而所说的坐标表象，实际上是x,y,z共同的表象。 x,y,z构成一个力学量的完全集合。同样，前面所说的力学量F也应代表一个力学量的完全集合，所谓F表象也应理解为F所代表的力学量的完全集合所含各力学量的共同表象。 2. 算符的表象 算符表达的是一种运算，它的具体表示形式应该和波函数的具体表示形式相适应。 在x表象中，算符 的形式是 ，它作用于波函数 上给出一个新的波函数 现在我们来求在F表象中算符 的形式。 数列{ }和{ }分别是F表象中的波函数 和 ，把它们表示为单列矩阵的形式，即 若把集合{ }排列成一个方矩阵，即 上式表明(5.1.15)所表示的方阵，就是F表象中的算符 ，它就是关于算符作用公式的矩阵表述。 F可以代表任何力学量。因此，在任意力学量F表象中，算符都可用(5.1.15)所示的矩阵来表示，其矩阵元 由(5.1.13)给出。 下面讨论几个特殊的例子： (1) 算符 在其自身表象中的矩阵表示是一个对角矩阵，且对角元素就是其本征值。 在矩阵元的定义式(5.1.13)中，取算符 为 ，则 说明 在F表象中是一个对角矩阵 (2) 算符 =1在任意表象中都是单位矩阵。 (3)表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。 假定 是一个厄米算符，则 3.2 量子力学公式的矩阵表示 1. 波函数正交归一性 (1) 归一化。在x表象中波函数的归一化条件是 若 的本征函数用 表示，则 是一个单行矩阵，是 的转置共轭矩阵。 (2) 正交。在x表象中 2. 平均值公式 在x 表象中 由于F是一个任意的力学量，因此原则上表象可以有无穷多。但是，前已指出，对一个任意的状态进行关于力学量M的测量，一般来说我们所可以期待的结果就是M的平均值 ，显然不管你采用何种表象，实验测得的结果总是一个，选取不同的表象相当于在不同的坐标系中讨论问题，可观测的实验结果(力学量的期望值)不会因表象不同而异。 3. 本征值方程 在x 表象中 这是决定参数M的可能值(即本征值)的方程，通常称为久期方程。解这个方程可以得到它的一系列的根： ，它们就是算符 的全部本征值。把其中一个根，例如 ，代回原来的方程组，就可以求得相应的解 (n=1，2…)(