调和函数工科.ppt

复变函数与积分变换 电信、测控、自动化、通信等专业 §3.4 解析函数与  调和函数的关系 主要内容： 1.解析函数的实部与虚部的特征— 调和与共轭调和; 2.由已知解析函数的实(虚)部求其表达式 引言 1.解析函数的实部与虚部的特征--调和与共轭调和 共轭调和函数(conjugate harmonic function) 2.由已知解析函数的实(虚)部求其表达式 由已知解析函数的实部(或虚部)来求解析函数的表达式可采用如下方法: (2)不定积分法(偏积分法) * * 潍坊学院数学与信息科学学院 主讲教师: 钮宏霞 重点: 1.解析函数与调和函数的关系； 2.由已知解析函数的实(虚)部求其表达式 解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程,利用解析函数有任意阶导数的特性,可以证明它们还满足拉普拉斯方程,即为调和函数.调和函数在流体力学、电磁场理论、控制论等学科中有重要应用.解析函数与调和函数有密切的联系,调和函数的许多重要性质是由解析函数所得,而解析函数的实际应用要以调和函数为桥梁. 定理5.1 若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域D内的解析函数, 运算符号 称为拉普拉斯算子,方程 称为拉普拉斯方程. 定义5.1 如果二元实函数 在区域D内有二阶连续 偏导数,并且满足拉普拉斯方程 则称 为区域D 内的调和函数(harmonic function). 利用解析函数的无穷可微性,进一步研究它的实部和虚部的特征 则u (x, y)和v (x, y)均为区域D内的调和函数. (1) 反之,如果u, v 是任意选取的在区域D内调和的两个函数, 则在D内 就不一定解析. (思考为什么?) 定义5.2ˊ 在区域D内,满足C.-R.条件 的两个调和函数 中,v 称为u 在区域D内的共轭调和函数. 思考题：(1) “v 为u 在区域D内的共轭调和函数”这一表述中v与u是否可以换序？ (2) 若v 为u 在区域D内的共轭调和函数,则v 在区域D内的共轭调和函数是什么? (2) 定义5.2 设u (x, y)为区域D内的调和函数,使f (z)=u+ iv在区域 D内解析的调和函数v (x, y)称为u (x, y)在区域D内的共轭调和函数. 定理5.2 在区域D内 解析的充要条件是 在区域D内虚部 为实部 的共轭调和函数. 注 解析函数的实、虚部无穷次可微, 且实、虚部的任意阶偏导数也是调和函数. 问: 任给调和函数u,能否找到一个解析函数 f 以它为其实部? . 其中 是D内的定点, 是D内的动点,C是一个任意常数, 积分与路径无关. (3) (4) 显然 , 满足柯西-黎曼方程. 假设D是一个单连通区域, 是区域D内的调和函数, 结论 设 是在单连通区域D内的调和函数,则存在 由(6)式所确定的函数 ,使 是D内的 解析函数. 从而 是全微分: 可分如下两步进行: 试写出以已知调和函数 为虚部的解析函数的实部 的表达式,并改编例1. (1)线积分公式法 已知调和函数 ,利用公式(6)求出其共轭调和函数 , 得到解析函数 . (4) 例1 验证 是z平面上的调和函数,并求以它 为实部的解析函数 ,使 柯西-黎曼条件起用逐次求不定积分的方法求出: 已知调和函数 ,求其共轭调和函数 ,可由 由C.-R.条件之一 ,两边对 求不定积分,得 两边同时关于 求偏导数,得 再由C.-R.条件之二 ,(8)式成为 (5) (6) (7) (7)式两端对y求不定积分,得待定函数 , 代入(5)式即求得 例1 验证 是z平面上的调和函数,并求以它 为实部的解析函数 ,使