质点组力学.ppt

第二章 质点组力学 本章主要讲述如何通过质心坐标，内部坐标和质心系的引入来描述多粒子的动力学系统，重点是两体问题。关于变质量物体的运动一节主要讲述火箭的运动。维里定理一节具有统计的性质，主要为以后的课程作准备。重点掌握:（1）质心的概念和计算；（2）质点组的三个基本定理（动量定理、动量矩定理、动能定理）在基本系和质心坐标系中的数学表示；（3）质心坐标系的重要性和特殊性。 §2.1 质点组 本节重点是掌握内力的性质、质心的概念和计算。 （1）质点组的内力和外力 1.质点组（又称质点系）： 若干有相互作用的质点的集合。 【注】一群毫无相联系的蚊蝇以及一盘散沙，都不是质点组。 2.内力与外力： 内力——质点组中质点间的相互作用； 外力——质点组外物体与组内任一质点的作用力。 3.内力所满足的运动定律： ①牛顿第三定律： ， ②牛顿第二定律。 4.孤立系（闭合系）： 不受任何外力的质点组。 5.质点组与独立质点集的区别： 犹如绳子（或刚体）与沙子。 （2）质心? 1.质心概念的必要性： ① 逐个对质点加以描述和研究的方法，原则上可用，但得出的是方程数目庞大的二阶微分方程组，难以解算； ② 况且内力一般是未知量从而问题更复杂。 2.质点组研究方法： 从整体上去把握质点组，但不是利用统计方法，而是以点代体，即寻找一个与“整体”等当的特殊点（或说代表点）——质心来研究。 3.质点组质心的定义： 相应的分量形式为: 　　对于连续体的质心，上述公式中的和号应改为积分： 　　当密度为常数时，质心几何中心；当重力加速度为常矢量时，质心重心。 4.命题： 　　对于只有两质点1和2组成的质点组而言，其质心位置在1与2这两点连线上，质心与质点1、2的距离反比于质点1、2的质量。 §2.2 动量定理与动量守恒律 　　本节要求是掌握质心运动定理，它是刚体力学的基础之一。 （1）动量定理 　 设质点组由　个质点组成，其中任一质点 　的质量设为　，它对惯性参照系坐标原点　的位矢为　，作用在质点上诸力的合力为　，对质点组而言，该合力又分为合内力　及合外力 （上标i和e，为英文interior和exterior的首字母）。 应用牛顿第二定律，质点有运动微分方程: 将这 个方程加和起来有： 由上一节根据牛顿第三定律已知合内力为0，于是上式变为： 对此式左边可进一步改写为 式中 是质点组的动量。所以 总之，将质点组中每一质点的微分方程加 和，且考虑到内力总和为零，得质点组的 动量定理： 式中 【注】更普遍的推导是直接使用质点的动量定理[参见：中山大学数学力学系力学教研室，《力学教程》，人民教育出版社，1978]： 对于系统中的每一个质点因有动量定理 ，（ ） 把所有这些方程相加得 其中 表示质点组的总动量。那么 (A) 假如我们承认质点组的内力之和 的条件，则有质点组的动量定理： (B) （2）质心运动定理 根据质心的定义并求导运算 质点组动 量=质心动量，即 （式中 ） 这就是质心运动定理。 该定理的物理意义：质心的运动，就犹如这样的 一个质点的运动，这个质点的质量等于整个质点 组的质量，作用在此质点上的力等于作用在质点 组上所有外力的矢量和。 该式表明了质心的重要性和特殊性：（1）质心 是一个特殊的几何点，但它的运动状态可以代表 质点组的整体特征；（2）内力不影响质心的运 动状态，但能影响个别质点的状态；（3）给定 外力，各质点运动状态尽管不知道,但质心的运动 状态可以完全确定，质心的运动状态只取决外力。 （3）动量守恒律 质点组不受外力或合外力为0时，由动量 定理可得 质点组动量守恒定律表明：若质点组不受外力或合外力为0时， ，即质心作匀速直线运动（ 恒矢量），内力不会引起质心运动状态的改变。 守恒律还适于诸外力仅在某一轴上投影之和为零的情形。 §2.3 动量矩定理与动量矩守恒律 本节的要求是掌握质点组动量矩定理，特别是掌握对质