邱婉玲耿素云离散数学ch2.ppt

第二章 命题逻辑等值演算 主要内容 等值式与基本的等值式 等值演算与置换规则 析取范式与合取范式，主析取范式与主合取范式 联结词完备集 可满足性问题与消解法 2.1 等值式 定义2.1 若等价式A?B是重言式，则称A与B等值，记作A?B，并称A?B是等值式 几点说明： 定义中，A, B, ?均为元语言符号 A或B中可能有哑元出现. 例如 (p?q) ? ((?p?q)?(?r?r)) r为左边公式的哑元. 用真值表可检查两个公式是否等值 请验证： p?(q?r) ? (p?q) ?r p?(q?r) 不与 (p?q) ?r 等值 等值式例题 例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p?(q?r) 与 (p?q) ?r 等值式例题 (2) p?(q?r) 与 (p?q) ?r 基本等值式 双重否定律 ??A?A 幂等律 A?A?A, A?A?A 交换律 A?B?B?A, A?B?B?A 结合律 (A?B)?C?A?(B?C), (A?B)?C?A?(B?C) 分配律 A?(B?C)?(A?B)?(A?C), A?(B?C)?(A?B)?(A?C) 德摩根律 ?(A?B)??A??B ?(A?B)??A??B 吸收律 A?(A?B)?A, A?(A?B)?A 基本等值式 零律 A?1?1, A?0?0 同一律 A?0?A. A?1?A 排中律 A??A?1 矛盾律 A??A?0 蕴涵等值式 A?B??A?B 等价等值式 A?B?(A?B)?(B?A) 假言易位 A?B??B??A 等价否定等值式 A?B??A??B 归谬论 (A?B)?(A??B) ??A 特别提示：必须牢记这16组等值式，这是继续学习的基础 等值演算与置换规则 1. 等值演算——由已知的等值式推演出新的等值式的过程 2. 等值演算的基础： (1) 等值关系的性质：自反性、对称性、传递性 (2) 基本的等值式 (3) 置换规则（见3） 3. 置换规则 设 ?(A) 是含公式 A 的命题公式，?(B) 是用公式 B 置换 ?(A) 中所有的 A 后得到的命题公式 若 B?A，则 ?(B)??(A) 等值演算的应用举例 证明两个公式等值 例2 证明 p?(q?r) ? (p?q)?r 证 p?(q?r) ? ?p?(?q?r) （蕴涵等值式，置换规则） ? (?p??q)?r （结合律，置换规则） ? ?(p?q)?r （德摩根律，置换规则） ? (p?q)?r （蕴涵等值式，置换规则） 今后在注明中省去置换规则 注意：用等值演算不能直接证明两个公式不等值 等值演算的应用举例 证明两个公式不等值 例3 证明 p?(q?r) 与 (p?q)?r 不等值 证 方法一 真值表法, 见例1(2) 方法二 观察法. 观察到000, 010是左边的成真赋值，是右边的成假赋值 方法三 先用等值演算化简公式，然后再观察 p?(q?r) ??p??q?r (p?q)?r ??(?p?q)?r?(p??q)?r 更容易看出前面的两个赋值分别是左边的成真赋 值和右边的成假赋值 等值演算的应用举例 判断公式类型: A为矛盾式当且仅当A ? 0 A为重言式当且仅当A ? 1 例4 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q??(p?q) (2) (p?q)?(?q??p) (3) ((p?q)?(p??q))?r) 判断公式类型 (2) (p?q)?(?q??p) ? (?p?q)?(q??p) （蕴涵等值式） ? (?p?q)?(?p?q) （交换律） ? 1 重言式 2.2 析取范式与合取范式 基本概念 (1) 文字——命题变项及其否定的总称 (2) 简单析取式——