2016年数学一轮[文科]北师大版课时作业第九章平面解析几何-探究课六附解析.docVIP

(建议用时：分钟)1．椭圆＋＝1(a＞b＞0)与直线x＋y－1＝0相交于P两点且OP⊥OQ(O为原点)． (1)求证：＋等于定值； (2)若椭圆的离心率e∈求椭圆长轴长的取值范围． (1)证明　由消去y 得(a＋b)x2－2a＋a(1－b)＝0 ∵直线与椭圆有两个交点＞0 即4a－4(a＋b)a2(1－b)＞0?(a2＋b－1)＞0 ∵a＞b＞0＋b＞1. 设P(x)，Q(x2，y2)，则x、x是方程①的两实根． ＋x＝＝ 由OP⊥OQ得x＋y＝0 又y＝1－x＝1－x 得2x－(x＋x)＋1＝0.③ 式②代入式③化简得a＋b＝2a ∴＋＝2. (2)解　利用(1)的结论将a表示为e的函数 由e＝?＝a－a 代入式④得2－e－2a(1－e)＝0. ＝＝＋ ∵≤e≤，∴≤a2≤. ∵a＞0≤a≤. ∴长轴长的取值范围是[]． 已知椭圆＋＝1(a＞0＞0)的左焦点F为圆x＋y＋2x＝0的圆心且椭圆上的点到点F的距离最小值为－1. (1)求椭圆方程； (2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A点M 证明：为定值． (1)解　化圆的标准方程为(x＋1)＋y＝1 则圆心为(－1)，半径r＝1所以椭圆的半焦距c＝1. 又椭圆上的点到点F的距离最小值为－1所以a－c＝－1即a＝则b＝a－c＝1 故所＋y＝1. (2)证明　①当直线l与x轴垂直时的方程为x＝－1. 可求得A. 此时·＝＝－ ②当直线l与x轴不垂直时设直线l的方程为y＝k(x＋1) 由得(1＋2k)x2＋4k＋2k－2＝0 设A(x)，B(x2，y2)，则x1＋x＝－＝ 因为＝＝＋y ＝x＋(x＋x)＋＋k(x＋1)·k(x＋1) ＝(1＋k)x1x2＋(x＋x)＋k＋ ＝(1＋k)·＋＋k＋ ＝＋＝－2＋＝－ 所以综上得为定值且定值为－ 3．(2014·北京卷)已知椭圆C：x＋2y＝4. (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为原点．若点A在直线y＝2上点B在椭圆C上且OA⊥OB求线段AB长度的最小值． 解　(1)由题意知椭圆C的标准方＋＝1. 所以a＝4＝2从而c＝a－b＝2. 因此a＝2＝ 故椭圆C的离心率e＝＝ (2)设点A的坐标分别为(t)，(x0，y0)，其中x 因为OA⊥OB所以＝0即tx2y0＝0 解得t＝－ 又x＋2y＝4 所以|AB|＝(x－t)＋(y－2) ＝＋(y－2)＝x＋y＋＋4 ＝x＋＋＋4 ＝＋＋4(0＜x)． 因为＋(0＜x)，且当x＝4时等号成立 所以|AB| 故线段AB长度的最小值为2 4.(2014·辽宁卷)圆x＋y＝4的切线与x轴正半轴轴正半轴围成一个三角形当该三角形面积最小时切点为P(如图)． (1)求点P的坐标； (2)焦点在x轴上的椭圆C过点P且与直线l：y＝x＋交于A两点．若△PAB的面积为2求C的标准方程． 解　(1)设切点坐标为(x)(x0＞0＞0)则切线斜率为－切线方程为y－y＝－(x－x)，即x＋y＝4此时两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S＝·＝ 由x＋y＝4≥2x知当且仅当x＝y＝时x有最大值S有最小值因此点P的坐标为()． (2)设C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)点(x1，y1)，B(x2，y2)． 由点P在C上知＋＝1并由 得b＋x＋6－2b＝0又x是方程的根因此由y＝x＋＝x＋ 得|AB|＝－x＝. 由点P到直线l的距离为及S＝×|AB|＝2得b－9b＋18＝0解得b＝6或3因此b＝6＝3(舍)或b＝3＝6.从而所求C的方程为＋＝1. 如图已知点E(m)(m＞0)为抛物线y＝4x内一个定点过E作斜率分别为k的两条直线交抛物线于点A且M分别是AB的中点． (1)若m＝1＝－1求△EMN面积的最小值； (2)若k＋k＝1求证：直线MN过定点． (1)解　当m＝1时为抛物线y＝4x的焦点 ∵k1k2＝－1 设直线AB的方程为y＝k(x－1A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得k－4y－4k＝0 y1＋y＝＝－4. ，∴M， 同理点N(2k＋1－2k)， ∴S△EMN＝＝＝2＝4当且仅当k＝即k＝±1时的面积取得最小值4. (2)证明　设直线AB的方程为y＝k(x－m)(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得k－4y－4k＝0 y1＋y＝＝－4m ∵M，∴M， 同理点N ∴kMN＝＝k ∴直线MN的方程为 －＝k，即y＝k(x－m)＋2 ∴直线MN恒过定点(m)． (2015·西安质量检查)在平面直角坐标系xOy中椭圆Г：＋＝1(a＞b＞0)过点(2)，焦距为2 (1)求椭圆Г的方程； (2)设斜率为k的直线l过点C(－1)且交椭圆Г于A两点试探究椭圆Г上是否存在点P使得四边形OAPB为平行四边形？若存在求出点P的坐标；若不存在请说明理由． 解　(1)由已知得a＝2＝ 因为a＝b＋c所以b＝a