2016年数学一轮[理科]北师大版课时作业第九章平面解析几何-3附解析.docVIP

第3讲　圆与圆的方程 基础巩固题组(建议用时：40分钟) 一、选择题 1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　) A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝ C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4 解析　AB的中点坐标为(0,0)， |AB|＝＝2， 圆的方程为x2＋y2＝2. 答案　A 2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2) B. C．(－2,0) D. 解析　方程为2＋(y＋a)2＝1－a－表示圆，则1－a－＞0，解得－2＜a＜. 答案　D 3．(2015·汉中质检)设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0a1，则原点与圆的位置关系是(　　) A．原点在圆上 B．原点在圆外 C．原点在圆内 D．不确定 解析　将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a， 因为0a1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)20， 即，所以原点在圆外． 答案　B 4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为(　　) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 解析　设圆心坐标为(0，b)，则由题意知 ＝1，解得b＝2， 故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1. 答案　A 5．(2015·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 解析　设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4， 化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 答案　A 二、填空题 6．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________． 解析　过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，kCM＝＝1，最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0. 答案　x＋y－1＝0 7．(2015·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______． 解析　由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即－＝. 答案　 8．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________． 解析　由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又OPQ为直角三角形，故其圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径为＝，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 答案　(x－2)2＋(y－1)2＝5 三、解答题 9．一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程． 解　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D. 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E. 由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0. 又因为圆过点A，B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0， 1＋9－D＋3E＋F＝0， 解组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12. 故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0. 10．求适合下列条件的圆的方程： (1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)； (2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)． 解　(1)法一　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则有 解得a＝1，b＝－4，r＝2. 圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 法二　过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)． 半径r＝＝2， 所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. (2)法一　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 则 解得D＝－2，E＝－4，F＝－95. 所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0. 法二　由A(1,12)，B(7,10)， 得AB的中点坐标为(4,11)，kAB＝－， 则AB的垂直平分线方程为3x－y－1＝0. 同理得AC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0. 联立得