2016年数学一轮[理科]北师大版课时作业第九章平面解析几何-4附解析.docVIP

第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b)(　　) A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能 解析　由1，得1，点P在圆外． 答案　B 2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为(　　) A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0 C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0 解析　易知圆心C坐标为(2,0)，则kCP＝＝－， 所以所求切线的斜率为.故切线方程为 y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0. 答案　D 3．(2015·宝鸡模拟)已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a，bR)，则两圆的位置关系是(　　) A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 解析　由O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4得圆心坐标为(a，b)，半径为2；由O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1得圆心坐标为(a＋1，b＋2)，半径为1，所以两圆圆心之间的距离为|O1O2|＝＝，因为|2－1|＝1＜＜2＋1＝3，所以两圆相交，故选C. 答案　C 4．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为(　　) A．k＝，b＝－4 B．k＝－，b＝4 C．k＝，b＝4 D．k＝－，b＝－4 解析　因为直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且2x＋y＋b＝0过圆心，所以解得k＝，b＝－4. 答案　A 5．(2014·江西卷)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　) A.π B.π C．(6－2)π D.π 解析　由题意得以AB为直径的圆C过原点O，圆心C为AB的中点，设D为切点，要使圆C的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC＋CD最小，其最小值为OE(过原点O作直线2x＋y－4＝0的垂线，垂足为E)的长度(如图)．由点到直线的距离公式得|OE|＝.所以圆C面积的最小值为π2＝π.故选A. 答案　A 二、填空题 6．(2015·青岛质量检测)直线y＝2x＋1被圆x2＋y2＝1截得的弦长为________． 解析　圆x2＋y2＝1的圆心O(0,0)，半径r＝1.圆心O到直线y＝2x＋1的距离为d＝＝，故弦长为2＝2＝. 答案　 7．(2014·湖北卷)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝______. 解析　由题意知，直线l1截圆所得的劣弧长为，则圆心到直线l1的距离为，即＝，则a2＝1. 同理可得b2＝1，则a2＋b2＝2. 答案　2 8．(2014·重庆卷)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数a＝________. 解析　依题意，圆C的半径是2，圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离等于×2＝，于是有＝，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±. 答案　4± 三、解答题 9．已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12. (1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点； (2)求直线l被圆C截得的最短弦长． 法一　(1)证明　由 消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0， 因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)0， 所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点． (2)解　设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则直线l被圆C截得的弦长 |AB|＝|x1－x2| ＝2＝2 ， 令t＝，则tk2－4k＋(t－3)＝0， 当t＝0时，k＝－，当t≠0时，因为kR， 所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0， 故t＝的最大值为4，此时|AB|最小为2. 法二　(1)证明　圆心C(1，－1)到直线l的距离d＝，圆C的半径R＝2，R2－d2＝12－＝，而在S＝11k2－4k＋8中， Δ＝(－4)2－4×11×80， 故11k2－4k＋80对kR恒成立， 所以R2－d20，即dR，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点． (2)解　由平面几何知识， 知|AB|＝2＝2 ，下同法一． 法三　(1)证明　因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|＝2＝R，所以点P(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点． (2)解　由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)