2016年数学一轮[理科]北师大版课时作业第九章平面解析几何-5附解析.docVIP

第5讲　椭　圆 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　) A．4 B．3 C．2 D．5 解析　由题意知，在PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3， |PF2|＝6，|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4. 答案　A 2．已知椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于(　　) A．4 B．8 C．4或8 D．以上均不对 解析　由得2m10， 由题意知(10－m)－(m－2)＝4或(m－2)－(10－m)＝4， 解得m＝4或m＝8. 答案　C 3．(2015·西安质量检测)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋y2＝1 解析　依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝＝a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是＋＝1，故选C. 答案　C 4．(2014·南昌一模)已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若F1PF2为直角三角形，则这样的点P有(　　) A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 解析　当PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P有6个． 答案　C 5．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cosABF＝，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析　如图，设|AF|＝x，则cosABF＝＝. 解得x＝6，AFB＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|＝8，FAF1＝FAB＋FBA＝90°，FAF1是直角三角形，所以|F1F|＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，＝. 答案　B 二、填空题 6．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________． 解析　由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7. 答案　7 7．已知椭圆＋＝1 (ab0)的离心率等于，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在ABC中，的值等于________． 解析　在ABC中，由正弦定理得＝，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以＝＝＝3. 答案　3 8．(2015·乌鲁木齐调研)已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________． 解析　设P(x，y)，则·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2， 将y2＝b2－x2代入式解得 x2＝＝， 又x2[0，a2]，2c2≤a2≤3c2， e＝. 答案　 三、解答题 9．(2014·新课标全国卷)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N. (1)若直线MN的斜率为，求C的离心率； (2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b. 解　(1)根据c＝及题设知M，2b2＝3ac. 将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝或＝－2(舍去)．故C的离心率为. (2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a. 由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|. 设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则 即 代入C的方程，得＋＝1. 将及c＝代入得＋＝1. 解得a＝7，b2＝4a＝28， 故a＝7，b＝ 2 . 10.(2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C. (1)若点C的坐标为，且|BF2|＝，求椭圆的方程； (2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值． 解　设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)． (1)因为B(0，b)，所以|BF2|＝＝a. 又|BF2|＝，故a＝. 因为点C在椭圆上，所以＋＝1，解得b2＝1. 故所求椭圆的方程为＋y2＝1.