2016年数学一轮[理科]北师大版课时作业第九章平面解析几何-6附解析.docVIP

第6讲　抛物线 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．(2015·合肥质量检测)抛物线x2＝y的焦点坐标为(　　) A. B. C. D. 解析　抛物线x2＝y的焦点坐标是. 答案　D 2．(2014·咸阳复习检测)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为(　　) A．2 B．1 C. D. 解析　曲线的标准方程为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x＝－， 由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3，解得p＝2，故选A. 答案　A 3．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是(　　) A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2 C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2 解析　分两类a0，a0可得y＝x2，y＝－x2. 答案　D 4．(2014·九江质量检查)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则A点的横坐标为(　　) A．2 B．3 C．2 D．4 解析　抛物线的焦点为，准线为x＝－.双曲线的右焦点为(3,0)，所以＝3，即p＝6，即y2＝12x.过A做准线的垂线，垂足为M，则|AK|＝ |AF|＝|AM|，即|KM|＝|AM|，设A(x，y)，则y＝x＋3，代入y2＝12x，解得x＝3. 答案　B 5．(2014·新课标全国卷)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为(　　) A. B. C. D. 解析　易知抛物线中p＝，焦点F， 法一　直线AB的斜率k＝， 故直线AB的方程为y＝， 代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝. 由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12， 法二　由抛物线焦点弦的性质可得|AB|＝＝＝12， 结合图像可得O到直线AB的距离d＝sin 30°＝， 所以OAB的面积S＝|AB|·d＝. 答案　D 二、填空题 6．(2014·北京海淀区模拟)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的左顶点，则p＝________. 解析　由题意知抛物线的准线为x＝－，双曲线x2－y2＝1的左顶点为(－1,0)，所以－＝－1，p＝2. 答案　2 7．(2014·银川质量检测)已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为________． 解析　依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝2x1，y＝2x2，两式相减得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0. 答案　x－y－1＝0 8．(2015·沈阳质量监测)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，ABC的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝0，则＋＋＝________. 解析　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，则＋＋＝(0,0)， 故y1＋y2＋y3＝0. 因为＝＝＝，同理可知＝，＝，所以原式＝＝0. 答案　0 三、解答题 9.如图，已知抛物线y2＝2px (p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程． 解　设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝－x， 由得x＝0或x＝. A点坐标为，同理得B点坐标为(2pk2，－2pk)， 由|OA|＝1，|OB|＝8，可得 ÷①解方程组得k6＝64，即k2＝4. 则p2＝＝. 又p0，则p＝，故所求抛物线方程为y2＝x. 10．(2014·陕西卷)如图，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(ab0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为. (1)求a，b的值； (2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若APAQ，求直线l的方程． 解　(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点． 设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2. a＝2，b＝1. (2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)． 易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为 y＝k(x－1)(k≠0)，代入C1的方程，整理得 (k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*) 设点P的坐标为(xP，yP)， 直线l过点B，x＝1是方程(