北京四中2011-2012年度高二下学期期中测试数学试卷[理].docVIP

北京市第四中学2011-2012学年下学期高二年级期中测试数学试卷（理科） （试卷满分150分，考试时间为120分钟） 试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分 卷（Ⅰ） 一、选择题：大题共12小题，每小题5分，共60分 1. 复数等于 A. 1＋ B. 1－ C. －1＋ D. －1－ 2. 等于 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 下列推理所得结论正确的是 A. 由类比得到 B. 由类比得到 C. 由类比得到 D. 由类比得到 4. 若，则的导数是 A. B. c. D. 5. 复数，为的共轭复数，则 A. －2 B. –i C. i D. 2i 6. 已知函数，其导函数的图象如下图，则对于函数的描述正确的是A. 在上为减函数 B. 在处取得最大值 C. 在上为减函数 D. 在处取得最小值 7. 函数有极值的充要条件是 A. B. C. D. 8. 函数的一个单调递增区间是 A. B. C. D. 9. 函数图象上的点到直线的距离的最小值是 A. B. C. 2 D. 10. 函数在上是增函数，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 11. 函数的图象如图所示，且在与处取得极值，则的值一定 A. 等于0 B. 大于0 C. 小于0 D. 小于或等于0 12. 已知定义在R上的函数满足为的导函数。已知的象如图所示，若两个正数满足，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分 13. 在曲线的所有切线中，斜率最小的切线所对应的方程为 。 14. 设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为 。 15. 由曲线与曲线围成的平面图形的面积是 16. 对大于或等于2的自然数的n次方幂有如下分解方式： 根据上述分解规律，则，若的分解中最小的数是73，则的值为 。 三、解答题：本大题共2小题，共20分 17. 已知，且，求证：。 18. 已知函数。 （Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为1，求实数a的值； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若函数在上是减函数，求实数a的取值范围。 卷（Ⅱ） 一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 1. 下列函数中，是极值点的函数是 A. B. C. D. 2. 对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 3. 是定义在上的可导函数，且满足。对任意正数，若则必有 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分 4. 若函数，则 。 5. 设在区间上的最大值为3，最小值为－29，且，则 ， 。 6. 设S为复数集C的非空子集。若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题①集合为整数，为虚数单位}是封闭集； ②若S为封闭集，则一定有； ③封闭集一定是无限集； ④若S为封闭集，则满足的任意集合T也是封闭集。 其中真命题是 。（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分 7. 设函数在处取得极值。 （Ⅰ）求与满足的关系式； （Ⅱ）求函数单调区间。 8. 已知函数。 （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：。 【试题答案】 卷（Ⅰ） ADCAB 6—10 CCADB 11—12 BA 13. 14. 2 15. 16. 9 17. 18. 解：对函数求导得： 2分 （Ⅰ）当时， 令解得或， 解得，所以单调增区间为和， 单调减区间为。 5分 （Ⅱ）令，即，解得或 6分 当时，列表得： 1 ＋ 0 － 0 ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 8分 对于时，因为，所以， 10分 对于时，由表可知函数在时取得最小值 所以，当时， 11分 由题意，不等式对恒成立， 所以得，解得 13分 卷（Ⅱ） BDD 4. －2 5. 6. ①② 7. 解：（Ⅰ）由题意知可知； （Ⅱ）由（Ⅰ）知。令，解得或。 1°.当即时， 1 － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为。 2°.当，即时， 1 ＋ 0 － 0 ＋ ↗ ↘ 极小值 ↗ 因此的单调递增区间为，，而的单调递减区间为。 3°.当，