周世勋量子力学课件.pptVIP

第四章 态和力学量的表象 §4.1 态的表象 同一矢量用不同的基矢量来表示 三、推广到连续谱 若Q算符的本征值是连续谱,即 (q是连续谱) 我们不再推导而是直接由类比给出： 分立谱： 连续谱： 四. 坐标表象 §4.2 算符的矩阵表示 §4.3 量子力学公式的矩阵表示 §4.4 幺正变换 §4.4 狄喇克(Dirac)符号 1. 定义右矢和左矢 §4.6 线性谐振子与占有数表象 显然可以得到 2.对易关系: 证明: 二.产生算符和湮灭算符对能量本征函数的运算 3: 线性谐振子的H和粒子数算符N 将上面的x和p表示式代入上式可得 其中 是 粒子数算符. 例题: 在Q表象的基矢有两个: 算符F有如下性质: 1)求F的本征值和本征函数. 2)已知粒子状态为 测量力学量F的可能值及相应的几率和平均值. 解: 1)先求出F的矩阵.由公式: 最后得到矩阵: 算符的本征值方程为 把方程变形 a和b有非零解的条件是系数行列式等于零 得到两个本征值: 下面来求对应的本征函数 我们得到第一个本征函数为 同理,我们可得到第二个本征函数为: b可以由归一化条件来确定 2)求测量的可能值及相应几率 所以测量F得到 4 和 -1 的几率分别是 ψ在Q表象中矩阵 求平均值 另一种方法 本节研究表象间的变换。事实上数学中已讨论过，从一组幺正基到另一组幺正基的变换通过一个幺正变换。 2. 变换矩阵 用矩阵表示为: 显然变换矩阵完全由两表象的基底确定。 事实上，表象间的各个量的变换将都由S矩阵决定。 二. 幺正变换 线性代数中已证明了，从一组正交归一基到另一组正交归一基的变换矩阵是幺正矩阵。下面我们来证明上面的变换矩阵是幺正矩阵 证明: (先证明前一部分) 再来证明另一式， 三. 力学量算符的表象变换 已知基底变换 其中 写成矩阵形式即 此即力学量由A表象到B表象的变换公式。 具体地可以写成: 四. 波函数的表象变换 下面讨论态的表象变换 写成矩阵形式即 简单地可以写为: 这里是S+矩阵 五. 幺正变换的重要性质 1. 幺正变换不改变算符的本征值 若算符F在A表象中的本征值方程为: （矩阵形式） 变换到B表象 在B表象中算符的表示： 本征矢在B表象中表示： 上面表明，算符的本征值λ不因表象的改变而改变。 这里λ是算符的本征值 2. 幺正变换不改变矩阵的迹 我们在这里应用了公式： 3. 幺正变换不改变矢量的内积 在几何或经典力学中，常用矢量形式讨论问题而不指明坐标系。 同样，量子力学中描写态和力学量，也可以不用具体表象。这种描写的方式是狄喇克最先引用的，这样的一套符号就称为狄拉克符号。 它有简明和使用方便的优点,在文献中被广泛应用. 微观体系的状态可以用一种矢量来表示，它的符号是 ，称为右矢，表示某一确定的右矢A，可以用符号 微观体系的状态也可以用另一种矢量来表示，这种矢量符号是 ，称为左矢。表示某一确定的左矢B可以用符号 。 右矢和左矢是两种性质不同的矢量，两者不能相加，它们在同一种表象中的相应分量互为共厄复数。 例如: 分别表示坐标算符,动量算符,能量算符和角动量算符的本征态. 例如: 左矢和右矢二者的关系可以简单表示： 2. 定义内积 态的归一是 两态正交是 二. 算符的定义 显然有 例如: ( ) . * = A B B A 算符是对右矢的运算 1. 在Q表象中和表示 用 左乘展开式两边 三. 表象 即: 2. 在x表象中的表示 下面我们来求波函数的Dirac符号表示 波函数用Drac符号表示为: 或者 其共轭式为 3. 定义单位算符: 应用例子： 单位算符在狄拉克符号的运算中十分有用 4.算符F在Q表象中的表示矩阵 算符的定义式 用 左乘上面等式两边 显然与前面讨论的结果完全一致。 例写出: 在Q表象中表示 因为已知 所以有 用前面的符号表示 5. 的共轭式 上式中，由于是 任意基矢，于是有 因此我们得到如下共轭关系 平均值公式是: Q表