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* * 第五章　一阶微分方程的解的存在定理 一、为什么要研究解的存在唯一性及解的某些性质 二、解的存在唯一性定理 三、定理的证明中提供了解的一种近似计算的方法 四、解的延拓定理（简介） 五、解对初值的连续性和可微性定理（简介） 六、包络和奇解 一、为什么要研究解的存在唯一性及解的某些质 1 1841年 Liouville 证明了，Riccati 方程 一般没有初等解法.因此人们怀疑一般初值问题 的解是否一定存在. 3 能为找不出表达式的解提供一种近似计算的方法 整个区间上存在吗？ 5 关于解还有些什么有用的性质？不唯一的解在实 际问题中有用吗？ 2 方程 过点(0,0)的解虽存在，但不唯一.人们问：在什么条 4 解的存在区间能适当拓展吗，甚至使它在 件下，上述初值问题的解是唯一的？ 吗？ 二、解的存在唯一性定理 在矩形闭域R： 上考虑初值问题 定理1 证明的主要步骤： 1.求初值问题的解等价于求积分方程 的连续解. 2.作Picard序列 3. 4. 5. 注： 三、Picad逐次逼近法提供了求方程近似解的一种方法 我们可利用这个误差估计，按照实际问题的容许误差 例1 要求，选取适当的逼近函数　　 来近似地取代　　 . 解 定理中的 因此，过（0,0）解的存在区间是 又由 由误差估计式 按题意要求 这时可取 n = 3, 这时 求它的表达式的过程是： 四、解的延拓 在区域G内考虑方程 f(x,y)在G内连续，关于y满足局部Lips. 1.存在唯一性定理得到的是局部解 2.局部解是可以延拓的——延拓的过程 . 3.它延拓到什么时候终止——延拓定理（两端终 止时的解称为过该点的“饱和解”）. 解的延拓定理 情况： 讨论方程 分别过(0,0),(-ln2,-3)的解的存在区间. 对这个方程，延拓定理中两条件成立的区域G是全平面. 通解是 过(0, 0)的解是 过(-ln2, -3)的解是 解 例2 讨论方程　 过(1，0)的解的存在区间. 该方程使延拓定理两个条件成立的区域G是半平面 解 过(1, 0)的解是 因 　　　　时该积分曲线上的点(x, y)已趋向于G的边界上 的点(0,0)了. 例3 　五、解对初值的连续性和可微性定理 的解记为 1 解对初值的连续性 若f(x, y)在区域G内连续，且关于y满足局部Lips., 则解 作为x,x0,y0的函数，在它的存在范围内是连 续的. 通俗说法 若f (x,y)在区域G内连续，且关于y满足Lips.， 解表示为 时，解 解对初值的连续依赖性定理 2 解对初值的可微性定理 作为x,x0,y0的函数，在它的存在范围内是可微的. 且 　　若f (x,y)及　 在区域G内连续，则解 例4 初值问题 它的解是 显然有 y是x,x0,y0的三元连续函数， 六、包络和奇解 概念的引入 例5 解 或 　　进一步研究：该通解(一族曲线)与一个特解(一条曲 (1)从图上看，特解曲线是通解曲线的“包络”； (2)由(**)对c求导所得式子与(**)联立求解，可得包络曲 (3) 是方程的“奇解”. 线)的关系，我们发现 这里c是参数， 是 x，y，c 的连续可微函数. 不含在曲线族中，但过该曲线上的每一点，有曲线族中 的一条曲线和它在这点相切. 求法—— c-判别曲线法 由联立式 消去c，得到c-判别曲线法，再经检验得符合定义的包络 曲线. 定义 例6 解 将上式对c求导，得 即 解联立式 消去c，得到c-判别曲线 经检验，前一条直线不是包络线，只有 是所给曲线族的包络线. 定义 2　微分方程的奇解 方程的一个解，如果它解曲线上每一点都破坏了唯 一性，这个解就称为微分方程的奇解. 　　显然，一阶微分方程的通解如果有包络，则这包络曲 线一定是奇解；反之，若微分方程有奇解，则奇解曲线一 定是通解的包络. 奇解的求法 (1) c-判别曲线法(一般较麻烦) 先求出方程的通解族，再按求包络的办法求解. (2) p-判别曲线法 方法： 从联立式 中消去p，得到p-判别曲线法，再按奇解定义检验它是否是 奇解. 例7 解 联立 消去p，得到p-判别曲线 检验： (ⅰ) 两条直线都是方程的解； (ⅱ) 方程的通解是 例8 解 联立 消去p，得到p-判别曲线 检验： 不是方程的解，故方程无奇解. 例9 (Clairaut 方程)求形如 的方程的奇解. 解 联立 消去p，得p-判别曲线； *