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§5 函数的凸性与拐点 * * 数学分析—电子教案 新余高专精品课程 上一页 下一页 1.函数y=f(x)单调性的判定 K切=f (x)0 y单调递增 凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的上方. 凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的下方. K切=f (x)0 y单调递减 x0 y0 p x0 y0 y=f(x) p x y y x o o 2.几何特征Ｉ y=f(x) 连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点. 引入 一.定义:若曲线y=f(x)在某区间内位于其切线的上方.则称该曲线在此区间内是凸的,此区间称为凸区间. 若曲线位于其切线的下方,则称该曲线在此区间内是凹的,此区间称为凹区间. x y o θ 1 θ 2 θ 3 a b x y o θ 1 θ 2 θ 3 曲线的凹凸与拐点 a b 1.几何特征Ⅱ 凸型曲线:切线的斜率随着X的增大而增大. 凹型曲线:切线的斜率随着X的增大而减小. ? ? ? ? ? ? x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 连续曲线y=f(x)上凹的曲线弧和凸的曲线弧的 分界点称为拐点. 曲线y=f(x)的凹凸性可以用f’(x)的单调性来判定. 即y=f(x)的凹凸性与f”(x) 的符号有关. 设f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数f″ . (x) (1)如果在(a,b)内f”(x) 0,那么曲线在(a,b)内 是凸的. (2)如果在(a,b)内f″(x) 0,那么曲线在(a,b)内 是凹的. 2.结论: 二.定理: 三.定义: 例1.判定y=ax2+bx+c的凹凸性. (a≠0) 解: 定义域为(?∞,+∞) y=2ax+b 当a0时，y0,曲线y=ax2+bx+c在 (?∞,+∞)内是凸的. 当a0时，y0,曲线y=ax2+bx+c在 (?∞,+∞)内是凹的. 注：凹凸性的判定定理的记忆与二次函数的开口 方向相结合。 y=2a 例2.求下列曲线的凹凸区间与拐点 1.y=x4 ?2x3+1 解：（1）定义域为（?∞,+∞） （2）y=4x3?6x2 y=12x2?12x=12x(x?1) （4）列表 x y″ y （?∞，0） + ∪ 0 0 （0，1） ? ∩ 1 0 拐点 （0，1） 拐点 （1，0） （1，+∞） + ∪ ∴已知曲线的凸区间为（?∞，0）∪（1，+∞）， 凹区间为（0，1）拐点为（0，1）与（1，0）. （3）令y=0, 得x =0,x =1 1 2 * * 数学分析—电子教案 新余高专精品课程 上一页 下一页