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数学 第六章 图形的性质(二) 第26讲 几何作图 1.尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺 2.基本作图 (1)作一条线段等于已知线段; (2)作一个角等于已知角; (3)作角的平分线; (4)作线段的垂直平分线; (5)过一点作已知直线的垂线. 3.利用基本作图作三角形 (1)已知三边作三角形; (2)已知两边及其夹角作三角形; (3)已知两角及其夹边作三角形; (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形; (5)已知一直角边和斜边作直角三角形. 4.与圆有关的尺规作图 (1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆); (2)作三角形的内切圆; (3)作圆的内接正方形和正六边形. 5.有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型 1.两种画图方法 对于一个既不属于尺规基本作图,又不属于已知条件为边角边、角边角、角角边、边边边、斜边直角边的三角形的作图题,可以分析图形中是否有属于上述情况的三角形,先把它作出来,再发展成整个图形,这种思考方法,称为三角形奠基法;也可以按求作图形的要求,一步一步地直接画出图形,这时,关键的点常常由两条直线(或圆弧)相交来确定,称为交会法.事实上,往往把三角形奠基法和交会法结合使用. 2.三点注意 (1)一般的几何作图,初中阶段只要求写出已知、求作、作法三个步骤,完成作图时,需要注意作图痕迹的保留,作法中要注意作图语句的规范和最后的作图结论. (2)根据已知条件作几何图形时,可采用逆向思维,假设已作出图形,再寻找图形的性质,然后作图或设计方案. (3)实际问题要理解题意,将实际问题转化为数学问题. 3.六个步骤 尺规作图的基本步骤: (1)已知:写出已知的线段和角,画出图形; (2)求作:求作什么图形,它符合什么条件,一一具体化; (3)作法:应用“五种基本作图”,叙述时不需重述基本作图的过程,但图中必须保留基本作图的痕迹; (4)证明:为了验证所作图形的正确性,把图作出后,必须再根据已知的定义、公理、定理等,结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件; (5)讨论:研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形;在哪些情况下,问题有一个解、多个解或者没有解; (6)结论:对所作图形下结论. 1.(2014·安顺)用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( ) A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS 2.(2016·曲靖)下列尺规作图,能判断AD是△ABC边上的高是( ) B B A D 5.(2016·丽水)用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD,以下四个作图中,作法错误的是( ) D 【例1】 (2015·杭州)“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形的三边分别为a,b,c,并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度. (1)用记号(a,b,c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形,如(2,3,3)表示边长分别为2,3,3个单位长度的一个三角形.请列举出所有满足条件的三角形. (2)用直尺和圆规作出三边满足a<b<c的三角形(用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹). 解: (1)共9种:(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4) (2)由(1)可知,只有(2,3,4),即a=2,b=3,c=4时满足a<b<c.如图的△ABC即为满足条件的三角形 【点评】 (1)作三角形包括:①已知三角形的两边及其夹角,求作三角形;②已知三角形的两角及其夹边,求作三角形;③已知三角形的三边,求作三角形; (2)求作三角形的关键是确定三角形的顶点;而求作直角三角形时,一般先作出直角,然后根据条件作出所求的图形. [对应训练] 1.(2015·南京)如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图,并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3) 解:满足条件的所有图形如图所示: 【例2】 两个城镇A,B与两条公路ME,MF位置如图所示,其中ME是东西方向的公路.现电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条公路ME,MF的距离也必须相等,且在∠FME的内部. (1)那么点C应选在何处?请在图中,用尺规作图找出符合条件的点C.(不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹) (2)设AB的垂直平分线交ME于点N,且MN=2(+1) km,在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向,在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向,求点C到公路ME的距离. [对应训
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