第2章随机信号的描述与解说.ppt

2. 系统输入与输出之间的互谱密度 由付氏变换性质可得: 当X(t)为白噪声，即GX(ω)=N0/2时，则 ，或 上式说明：如果能设法获得GXY(ω) 或GYX(ω) ，则可估计 线性系统的传输函数 H(ω) 。 输出过程Y(t)的概率分布 从原理上看，在已知输入过程分布的情况下，总可以确定输出过程的分布。 改写为和式： 若 为正态随机变量, 也为正态随机变量 高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯的。 由于线性系统的介入，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。 2.4 相关函数和谱密度的估计 在辨识技术中经常要用到相关函数和谱密度，但如果按照其定义，就要求在无限长的时间区间内进行统计计算，在实际计算中只能涉及有限的数据长度。 第 2 章 随机信号的描述与分析 自然界中事物的变化过程 确定性过程 变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。 随机过程 变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。 描述随机信号的数学工具是随机过程。 2.1 随机过程的一般描述 * 1．随机过程的概率分布函数和概率密度函数 设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T， 其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。 一维分布函数：随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率 即：F1(x1,t1)=P｛ξ(t1）≤x1 ｝ 为随机过程ξ(t)的一维分布函数。 一维概率密度函数 随机过程的一维分布函数（或一维概率密度函数）仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性。 任给两个时刻t1, t2∈T，则随机变量ξ(t1)和ξ(t2)构成一个二元随机变量{ξ(t1), ξ(t2)}，把两个事件(ξ(t1) ≤x1)和(ξ(t2) ≤x2)同时出现的概率定义为二维随机过程ξ(t)的二维分布函数。 F2(x1,x2; t1,t2)=P｛ξ(t1)≤x1, ξ(t2)≤x2｝ 二维概率密度函数 二维分布函数 n维分布函数 Fn(x1,…,xn; t1,…,tn)=P{ξ(t1)≤x1,…,ξ(tn)≤xn｝ 2. 随机过程的数字特征 随机过程的一维数字特征 数学期望 设P(xi)(i=1,2,…,K)是离散随机过程ξ(t)的取值xi的概率，则其数学期望为： 对于连续随机变量X，设f (x)为其概率密度函数，则其数学期望为： 它本该在t1时刻求得，但t1是任意的，所以它是时间t 的函数。 反映了随机过程取值的集中位置（均值） 均方值： 方差： 随机过程的二维数字特征 自协方差函数 用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性 自相关函数 反映了随机过程的集中程度 数字特征之间的关系： 二者关系为 如果C（t1，t2）和R（t1，t2）是衡量同一随机过程不同时刻的相关程度的，称为自协方差函数和自相关函数。 如果是两个或多个随机过程，用互协方差函数和互相关函数描述不同随机过程在不同时刻的相关程度。 引入时间间隔τ： 自相关函数定义： 试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差。 [例] 自相关函数的性质： 互相关函数的性质： 如果 表示两个随机过程是不相关（正交的随机过程） 2.2 平稳随机过程 定义 对于任意的正整数n和任意实数t1，t2，...，tn，τ，随机过程ξ(t)的n维概率密度函数满足 则称ξ(t)为平稳随机过程（严平稳随机过程或狭义平稳随机过程）. 一维概率密度函数 二维概率密度函数 平稳随机过程的数学期望 平稳随机过程的特点 平稳随机过程的方差 平稳随机过程的一维概率密度与时间无关； 二维概率密度只与时间间隔τ有关； 数学期望和方差均与时间无关； 它的自相关函数只与时间间隔τ有关。 推论 自相关函数 广义平稳随机过程 定义： 若随机过程ξ(t)的数学期望和方差与时间无关，自相关函数仅是τ的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。 各态历经性 假设 是一个平稳随机过程 该随机过程统计平均（数学期望）可用时间平均代替 该随机过程统计自相关函数可用时间自相关函数代替 称该平稳随机过程具有各态历经性（遍历性）。 “各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。 该随机过程的统计方差可用时间方差代替 2.3 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 自相关函数的意义 平稳随机过程的统计特性（如数字特征等）可通过自相关 函数来描述； 自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。 自相关函数主要性质 R(0)为ξ(t)的平均功率 R(τ)为