第二章三次样条插值解说.ppt

数值分析 第二章 插值法 小结 * * 三次样条 插值 早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（所谓样条）用压铁固定在样点上，在其它地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线。它实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。 2.7 三次样条插值 样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线 在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的 一、三次样条插值函数 定义1. ------(1) 注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。 f(x) H(x) S(x) 要求出S(x)，则在每个小区间上 要确定4个待定系数，共有n个小区间，所以应确定4n个参数。 共(n+1)+(3n-3)=4n-2个条件，因此还需要两个条件才能确定S(x) 可在区间端点a,b上各加一个条件（边界条件），具体要根据实际问题要求给定； 已知两端的一阶导数值 2. 两端的二阶导数已知 其特殊情况为 3. 当f(x)是 为周期的周期函数时，则要求S(x)也是周期函数，这时边界条件应满足： 这样确定的样条函数S(x)称为周期样条函数； 加上任何一类边界条件(至少两个)后 一般使用第一、二类边界条件, 常用第二类边界条件 样条插值函数的建立 即 或 可直接利用分段三次Hermit插值，只要假定 可得 加以整理后可得 ------(10) 由条件 ------(11) 由于以上两式相等,得 基本方程组 如果问题要求满足第一类(一阶)边界条件: 即 ------(12) 基本方程组化为n-1阶方程组 将上式化为矩阵形式 ------(13) ------(14) 这是一个三对角方程组 如果问题要求满足第二类(二阶自然)边界条件: 由(11)式,可知 ------(15) ----(16) ------(17) ------(18) 与基本方程组(12)联合,并化为矩阵形式,得 -----(19) (19)式与(14)一样,都是三对角方程组,解是唯一的； 例1. 对于给定的节点及函数值 解: 由(12)式可得