02-03单元的应变和应力.doc

§2-3 单元的应变和应力 当选取了单元位移函数，并用节点位移确定待定系数之后，就可以通过几何方程和弹性方程用节点位移表示单元的应变和应力。 单元应变矩阵几何方程 将(2-7)式代入几何方程，可以得出用节点位移表示的单元内任一点的应变表达式。  (2-13) 写成矩阵形式 (2-14) (2-15) 其中矩阵〔B〕可写成分块形式  (2-16) 而其子矩阵为 = (i,j,m) (2-17) 矩阵〔B〕称为几何矩阵或应变矩阵。其元素都是与单元几何性质有关的常量，仅与两节点间的坐标差值有关。在每一个单元中，应变分量,,都是常量。因此，这里取用的简单三角形单元，也称为常应变单元。坐标 单元应力矩阵 将单元应变(2-15)式代入弹性方程，就可得到用节点位移来表示的单元应力矩阵。  (2-18) 令 (2-19) 则 (2-20) 其中子矩阵为 对于平面应力问题 (2-21) 有 (i,j,m) (2-22) 对于平面应变问题 (i,j,m) (2-23) 即只需平面应力问题公式中的E换成，μ换成即可。 矩阵〔S〕反映了单元应力与节点位移之间的关系，所以称为单元应力矩阵。 由(2-18)式，(2-22)式和(2-23)式可看出，三角形三节点单元的应力矩阵是一个3×6的矩阵，其元素只与单元材料和几何尺寸有关，而与单元上点的位置坐标无关，所以单元应力在单元内部也是常量。当然，相邻单元一般将具有不同的应力，所以在它们的共用边界上，应力将不连续而有突变。但是，随着单元尺寸逐步取小，这种应力突变急剧减小，并不影响有限单元法的解答最终收敛于正确解答。 3