08量子试题B.doc

阅卷人 题号 得分 一 一、填空题（每题5分，共5???20分）： 量子态叠加原理是 与“波函数完全描述一个体系的量子态”两个概念的概括。 例如粒子处于非定态（已归一化） 即很多能量本征值的本征态的叠加，则在对这个量子态测量粒子能量时，）求和中所包含的能量本征值都有可能出现，出现的概率为 。当测量结果为某个能量本征值时，粒子的状态就变为相应的能量本征态。量子力学中把此称为量子态 。 经典力学中物质运动的状态用坐标、动量、角动量、等力学量以决定论的方式描述。而量子力学以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。但波函数并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概念—— ，用它表示量子力学中的 。 体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为 ；在任何状态下平均值均为实的算符必为 算符。 厄米算符的本征值必为 。； 厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此 。 对于Hamilton量H不含时的量子体系，如果力学量与H对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），的 及其 分布均不随时间改变。所以把称为量子体系的一个守恒量。 阅卷人 题号 得分 二 二、论证与说明题：（每题10分，共10???20分） 请完整地给出动量算符的论证过程。 描写粒子状态的波函数在坐标表象中为 ，在动量表象中为 ，在力学量Q表象中为矩阵 且它们都是归一化的，试指出 ， 与 的物理意义，并分别写出用这三个波函数计算力学量平均值的表示式。 答: ——t时刻粒子处在位置处的概率。 （2分） ——代表在t时刻，粒子出现在点附近体积元内的概率， （2分） ——t时刻测量粒子的力学量F，测得值为其本征值Fn的几率。 （2分） （1分） （1分） （1分） =A+FA （1分） 阅卷人 题号 得分 三 三、证明题（每题10分，共10???20分）： 证明角动量算符的对易关系 ； 证明位力（virial）定理 设粒子处于势场中，Hamilton量为 证明： 式中是粒子动能，上式即（virial）定理。 阅卷人 题号 得分 四 四、计算题：（每题10分，共10???40分） 设质量为m的粒子在一维无限深阱中运动，其势函数为： （1） 式中a为势阱宽度。如果粒子的状态由归一化波函数 描写，求粒子能量的可能值和相应的几率。 设氢原子处于状态 求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。 求在表象中，算符的本征值和本征矢。 一电荷为 -e 的质量为μ的线性谐振子，受恒定弱电场ε作用。电场沿 x 正向，用微扰法求体系的定态一级波函数修正|ψn(1) 已知无外电场作用时线性谐振子的本征函数和本征值分别为： 线性谐振子本征函数的递推公式：  阅卷人 题号 得分 一 一、填空题（每题5分，共5???20分）： 量子态叠加原理是“波的叠加性”与“波函数完全描述一个体系的量子态”两个概念的概括。 例如粒子处于非定态（已归一化） 即很多能量本征值的本征态的叠加，则在对这个量子态测量粒子能量时，）求和中所包含的能量本征值都有可能出现，出现的概率为（）。当测量结果为某个能量本征值时，粒子的状态就变为相应的能量本征态。量子力学中把此称为量子态坍缩。 经典力学中物质运动的状态用坐标、动量、角动量、等力学量以决定论的方式描述。而量子力学以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。但波函数并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概念——算符，用它表示量子力学中的力学量。 体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数；在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算符。 厄米算符的本征值必为实。； 厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此正交。 对于Hamilto