2007级化工类硕士研究生现代数值分析试题全集.doc

一、选择题、简述题 1．，具有4位有效数字的近似值为（ D ）。 A． 3.1415 B. 3.142 C． 3.141 D. 3.1416. 2. 若，求值的比较准确的算式为（C） A. B. C. D. 3. 使用Gauss消去法求解一个n元线性方程组 Ax=b所需乘（除法）运算次数约为：（ ） A.? ?????? B. ???? C.? ???? ? D.? ??? 4. 若实方阵A满足（ D）时，则存在唯一单位下三角阵和上三角阵，使。 A. B.某个 C. D. (表示A的k顺序阶主子式) 5. 对于线性方程组 AX=b,迭代公式，那么Gauss-Seidel 迭代公式中（???） A. ?????B. ??? ?C. ????? D. 6. 设为线性方程组 AX=b的解，对给定的,是由迭代公式A.????B.???? C. ????D. 7. 已知，则（ C ）。 A. 5 B. 7 C. 10 D 8 8．（1）什么是线性代数方程组的直接解法和迭代解法？（2）函数插值和函数逼近各有什么特点？ 解：（1）直接解法就是通过有限步的计算得到精确解的的方法，迭代解法就是通过逐次迭代逼近来得到近似解的方法. 9．写出时 Lagrange插值基函数的表达式； 解： 10．对线性代数方程组 假设全不为零，试写出J acobi迭代格式的分量形式以及矩阵形式。 解：线性代数方程组的矩阵形式为，其中 ，， 令 ，， 则，从而线性代数方程组可以写成 因此，J acobi迭代格式的分量形式为 J acobi迭代格式的矩阵形式为 二、（1）下面方程组能否用雅克比迭代法求解，并说明判别依据。若能用雅克比迭代求解，请写出迭代算式及迭代计算结束的判别条件。若,请用雅克比迭代算式计算三步。 （2）设有线性方程组： 试证明此线性代数方程组用Jacobi迭代法求解时对任意初始向量都收敛, 而用Gauss-seidel迭代法求解时不是对任意初始向量都收敛。取 ,试用J-迭代法进行求解,要求。 解：对此方程组,由于 ，，， (1)用J-迭代法求解 ， 故用J-迭代法求解时对任意初始值都收敛。 (2)用GS-迭代法求解 ， 故用Gauss-seidel迭代法求解发散.这种发散的含义:用Gauss-seidel迭代法求解时并不是对任意初始值都发散,即对有的初始值,用GS-迭代法求解时可能发散,但对有些初始值,用GS-迭代法求解时却可能收敛。 ，，，，。 三、用高斯列主元法解如下方程组 （1） （2） 四、设的函数值及导数值为：，试求次数不超过2的插值多项式。 解：因为若在上有三阶连续导数，已知在上两个互异点上的函数值，和一阶导数值，则次数不超过二次的插值多项式为 并且插值余项为 所以本题的插值多项式为 五、的插值二次式，使得，计算的近似值。 解： 插值多项式为 故的近似值为 六、对下列数据集，用最小二乘法求解拟合抛物线 1 2 3 4 5 -2 -1 0 1 2 10 1 0 2 9 解：取，，，，，由于 ，，，，，， ，，从而可得法方程组为 解次方程组可得 故所求二次拟和合曲线为。 七、给定线性方程组： 证明：它用Jacobi 方法求解时发散，而用Gauss-seidel方法求解时收敛，并说明用Jacobi 方法求解时发散的含义。 解： 由A=-L+D-U 可得： 由可知 由可得： λ1=0，λ2，3=± , 故 从而可知用Jacobi迭代法求解时发散。 而 由可得 λ1=0，λ2，3=–，故 从而可知Gauss_seidel迭代法收敛。 Jacobi迭代法发散的含义是：并不是对所有初始x(0),都有迭代序列{x(k)}发散，有可能对某些初始值x(0)，由它产生的序列收敛，若迭代序列的所有特征值的模均大于1，则对任何初始值x(0)，由它产生的迭代序列均发散，若迭代矩阵的特征值中有部分特征值其模大于1，有部分特征值其模小于1，则迭代序列的收敛性不定。 八、设是互不相同的节点，是插值基函数，求证：对任何k=0,1,2,…,n下式成立： （1）