2012年大连市数学竞赛B卷答案.docx

大连市第21届高等数学竞赛试题B卷答案一、填空题（本题共15分，每题3分）1．设，则当时，是的 一 阶无穷小量．2．函数由参数方程确定，则． 3．设函数 ，则．4．设，则．5．由面上的闭合曲线： 所围平面图形绕轴旋转一周所得立体的体积等于．二、单项选择题（本题共15分，每题3分）1．若，则 A．A．，； 　 　 B．，；Ｃ．，；　 　Ｄ．，．2．若函数，且设，则 C．A．； B．；C．； D．． 3．若函数 在点处连续，则 A．A．； B．；C．； D．．4． 设函数，其中是有界函数，则在点处 D．A．极限不存在； B．极限存在但不连续；C．连续但不可导； D．可导．5．已知为常数，且 ，则 A ．A．；　　 B．；C．；　 D．．三、（本题10分）设为正整数，计算定积分．解 令 ，则原式．四、（本题10分）求极限 ． 解 原式．五、（本题10分）设为正整数，．证明：．证 ，数列单调减少．所以，，即；，从而，即．六、（本题10分）证明：当时，．证 只需证．令 ，则在上可导，且当时，，所以在上单调增加；当时，．不等式得证．七、（本题10分）设函数连续，且，．求 ．解 ，所以 ，求导，得 ，化简，得 ，令，得 ． 八、（本题10分）设函数在区间上可导，且，． 证明：在内至少有一个，使得．证 由 ，得 ，所以存在，使得．令，则在上可导，且．由罗尔定理，存在，使得，即．九、（本题10分）设定义在区间上的函数存在二阶导数，且，．证明：．证 （反证法）假若在上不恒为零，不妨设存在，使得，则在上的最大值应在内取得，从而有最大值点，满足 ，且；同时，，所以，由极值判别定理知应为极小值，这与为最大值相矛盾．从而可知在上不可能取得正值．同理可证在上不可能取得负值．综上，在区间上，．B--1