Riesz-Schauder定理在一类积分方程的应用.doc

Riesz-Schauder定理在一类积分方程的应用 朱伟丰( （重庆师范大学 数学学院 重庆市 404100） 摘要：通过实例来对Riesz—Schauder定理应用，找到一类积分方程，当，是的系数且，而且在有解的可能，它的充分必要条件，以及进一步推广到方程，系数为，在有解的可能，它的充分必要条件。 关键字：伴随算子；有界变分函数；积分方程； 1、引言 在这篇论文主要对文献[2]中Kneser 类型的积分方程推广。我使用的方法来自于文献[10]，Riesz—Schauder定理应用一类Kneser积分方程。其中函数的相关性来自于文献[9]。 考虑下面积分方程 （1） 其中、、、、f为已知函数；是区间中的点；，在区间连续，表示在内的实连续函数的集合。在（1）中的且，那么对于如下表达式 （2） 其中连续函数F是Riemann可积函数。对于下述积分的性质非常重要：如果和（2）等于0，那么有F(x)恒等于零。在这种情况下，（1）左边的常系数与（2）中的函数一致。同理对于也有函数一致。 对于充分小时，（1）右边对于都有解。而目前解决的关键在于构建一个与（1）相关的算子，以及有解时对的估算范围。对于也同一样的处理。及其推广到方程，系数为，在有解的可能，它的充分必要条件。 在的空间中，一个连续线性的一般性算子是从Radon得到的。其中最关键的是Lebesgue—Stieltjes积分怎么用算子表示。由于零测度集在解（1）中的非常重要，我不建议用Lebesgue积分。 2、伴随算子和有界变分函数 在Banach空间的范数，我们使用如下算子 同理可得， 那么，（1）式可以写成 （3） 其中，，是单位算子，。D(R),,D(T), ，D(P)，的范围与R(R), , R(T), , R(P), 算子的变化范围满足的条件：,, 且。 表示报酬均一的有界变分函数的集合。和是闭区间[a,b]全部有界变分的函数，满足（1）存在常数c，（E是[a,b]稠密集），;（2）式中，有。表示在线性连续函数的集合。我们可以辨认出在有用的一类，同时我们不能在有用的和函数某一种类中区别区来，即给你一类就能确定他唯一的作用。我们还要判断一个有界变分函数是否属于这一种类的函数。 引理 是伴随算子，并且满足如下运算 （4） 其中 当。（证明省略） 3、非齐次方程解决的可能性条件 定理1在（1）中，当，是(1)式的系数，而且（1）式在有解的可能，它的充分必要条件是对于 （5） 其中j=1,2对于（5）所有的分别满足的条件是 （6） （7） 且的范围分别为 (8) 证明：由于j=1时对应（5）（6）（8）与j-2对应（5）（7）（8）的证明方法一样，所以选择j=1时对应（5）（6）（8）。 设S为的有界子集，那么，由表达式就知在中相对紧密，即他满足相对紧密的条件。由于的紧算子，那么Q也是紧算子。 由于（1）式可以写成这种形式时，那么（3）式可以写成 （9） 在（9）用Riesz—Schauder定理。如果是（1）的系数，那么非齐次方程（9）有解，当且仅当每一个解的齐次伴随方程且满足关系。其中最关键在于一个生成函数中有用，当，那么对于所有都有。设是有用中的一个生成函数，是满足（4）式右边且有用的一个生成函数。那么就有 （10） 因为，根据生成函数的唯一性定理满足（10）充分必要条件：恰好E是中稠密集并包括端点。因此，齐次伴随方程就化成了（5）式。从（5）试中，得到关于函数更多的信息，除了在点外，在闭区间连续。 证明（10）算子的形式，其中 （11） 设为对变量z在闭区间的全变差函数。对于每个，对于（11）右边第二项是在点的跳跃的阶梯函数。使K(t)是的连续函数，同时也使，其中左连续阶梯函数，假设有唯一的点不连续，且。用表示在中全变差函数。我们选择满足，并将其在随意分割，那么我们可以的到如下不等式， 从的定义得出是它的最小上界。那么，不等式的右边我们通过他极限得到。因为h是连续函数，所以有和。由