全国高中数学联赛一试常用解题方法之构造法11.doc

全国高中数学联赛一试常用解题方法 十一、构造法 方法介绍 解题通常在问题给定的系统里由题设推出结论，但对某些问题（例如存在性问题、条件与结论相距较远的问题题等），直接推理有时不能顺利进行，因而不得不寻找某种中介工具沟通条件和结论的联系.解题的中介工具往往隐含在题设条件之中，需要我们去发现、去解释、去构造，这种通过构造题目本身所没有的解题中介工具——存在实例、对应关系或数学模型，去实现解题的方法，就是构造法. 用构造法解题，特点就是“构造”，但怎么样“构造”，却没有通用的构造法则.下面仅通过实例说明. 命题精讲 1、构造方程模型 数学竞赛中的许多问题，本身结构就具备方程形式，或通过变形、概括，可以纳入到某类方程中去，这时，若能构造相近的方程模型，通过解方程或利用方程的性质及广义韦达定理等，常常可将复杂问题简单化. 例1已知，且，求的值. 注：由原条件可知是方程的两根，即有，所以. 2．构造递推数列模型 问题中隐含着阶差递推关系的，我们常常可将其一般化，从而提示出相邻阶之间的关系，建立起递推数列模型.常见的如数列中的问题、方程中与自然数有关的问题、数论问题等. 例2设实数满足方程组求的值. 注：设，则， 又为， 将初始值代入，得，所以. 3．构造不等式模型 许多重要不等式都具有固定的结构模式，如平均不等式、柯西不等式、外森比克不等式等.若问题的结构能套上不等式公式的模型，则可利用不等式的性质（如利用不等式极值、取等号的条件等）或通过不等式而加以解决. 例3解方程. 注：左边具有柯西不等式的形式，因此可以柯西不等式为相似模型，因此 当且仅当时取等号，故. 4．构造辅助元素模型 根据问题的特点构造一些辅助元素，为的是使问题的条件和结论，通过这些辅助元素而发生联系. 例4求证：. 注：构造辅助量，易知，且，因此，于是. 5．构造图形模型 根据题目提供的信息，构造出符合题设或结论的图形，如三角形、正方形、曲多边形，借助于图表，化代数条件为长度、面积等几何结论.模型构造中常用到诸如勾股定理、正余弦定理、边角关系等. 例5对于正整数，定义为和式的最小值，其中是正实数，它们的和是17，存在惟一的一个正整数，使也是一个正整数，求这个. 注： 6．构造圆锥曲线模型 问题的形式、结论符合圆锥曲线的定义、性质时，可构造圆锥曲线模型，使问题得以简化. 例6求函数的最大值. 注：函数变形为，其几何意义为与的距离之差的最大值，而为抛物线上任意一点，所以可构造抛物线模型（利用两边之差小于第三边，即），当三点共线时取等号，即得.解 7．构造抽屉原理模型 构造的理论依据是抽屉原理.根据问题条件，构造出一个一个的抽屉，使题中元素、对象无一遗漏地落于这些抽屉中.构造过程中，常常将所有对象看成一个全集，构造成若干个抽屉（若干个子集）时，一般采用“其并为全集、其交为空集”的构造方法. 例7给定不大于91的10个正整数.求证：其中某两个数的比在区间之中. 注：构造抽屉模型，将1，2，3，…，90，91分成9个抽屉，其中 ， ， 由此可见，91个数没有遗漏地被分成9个抽屉（集合）中，并且同一个中任意两个数的比值一定在区间之中，任取10个数中一定有两个数在这9个抽屉中的同一个抽屉中，这两个数的比值在区间之中. 8．构造多色图模型 构造的方法是将图形染色，常见的有二色图、三色图、同色三角形等. 例8将的国际象棋棋盘剪去左上角与右下角的两个方格，求证：剩下的图形不能用31个的长方形覆盖. 注：国际象棋棋盘上的方格有黑白两种颜色，按此涂色 作一模型构造，知同一种颜色的方格绝不相邻，因此每 一个的长方形一定盖住一个黑格一个白格，31个这 样的长方形将盖住31个黑格与31个白格，但图中剪去 的两个方格都是白的，因此黑格有32个，31个长方形不 能将这张剪残了的棋盘完全覆盖. 9．构造对应关系模型 这种方法的重点是建立对应关系，利用对应关系的性质去解题. 例9设是两个实数，有以下三个集合： ， ， . 讨论是否存在，使(1)；(2)同时成立. 注：若着眼于建立数学模型，由条件（1）消去可得（1） 由条件（2）得（2） 在平面上赋给（1）、（2）以形的意义，不难将问题归结为直线（1）与圆（含内部）是否有公共点的问题，下面沿另一思路，即从建立对应关系入手，借助于对应关系的性质解题. 由（2）可令， 从而可得，从而，不难证明时，上式不成立，由此得出矛盾. 10．构造反例模型 为了说明一个命题不真，常常选择一个符合题目条件，但命题结论不成立的特例，这个过程叫构造反例. 例10命题：“一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形吗”对吗？如果对，请证明；如果不对，请作一四边形满足已知条件，但它不是平行四边形，并证明你的结论.