南京师范大学2000年研究生入学考试量子力学试卷.doc

南京师范大学 2000年研究生入学考试试卷 学科专业：理论物理、天体物理 考试科目：量子力学（A卷）559 一、填充：（每题4分，共32分） 1、波函数模的平方表示的物理意义是_______1_______。表示的物理意义是_______2_______。 2、由几率流密度矢量构成的表示的物理意义是_______3_______。 3、算符若满足关系_______4_______，则此算符为角动量算符。 4、完成对易关系：____5____,_____6____。____7___。 5、设为氢原子的能量本征函数，完成下列积分： ____8_____，__9__， _____10_____。 6、若采用狄拉克符号，构成的耦合表象的基矢为_____11_____，构成的耦合表象的基矢为_____12_____。 7、在任意状态中_____13_____，在和的本征态中，_____14_____。 8、对坐标和自旋变量分别为和的两个费米子，若粒子的可能状态为和，则体系的波函数为______15_____。 二、选择：（每题4分，共16分） 1、判断下列氢原子偶极跃迁中何为允许跃迁： A. B. C. D. 2、若氢原子在t=0处在状态中，则在t时刻氢原子的波函数为： A. B. C. D. 3、判断下列算符的矩阵表示何为厄密算符，其中a，b为实数： A. B. C. D. 4、判断下列波函数何为定态波函数： A. B. C. D. 三、证明：（共16分） 1、（8分）证明为厄密算符。 2、（8分）已知体系中厄密算符与对易，设和分别是的属于本征值为和的本征函数，证明 （1）（5分）和也分别为的属于本征值为和的本征函数。 （2）（3分）证明积分 四、计算：（共36分） 1、（10分）设粒子在一维势场中运动，求： （1）（7分）能级所满足的方程， （2）（3分）证明当粒子的能级与一维无限深势阱的能级相同。 2、（10分）设自旋角动量在方向的投影为求： （1）（5分）的本征值和本征函数， （2）（5分）在这些态中，测量有哪些可能值，相应的几率和平均值。 3、（16分）两维各向同性谐振子的哈密顿算符为，求 （1）（5分）能量的本征值和本征函数。 （2）（3分）第n个能级的简并度。 （3）（8分）现粒子受到微扰，试用有简并的微扰理论求第一激发态的能量一级修正。 （递推公式：）