旋转的硬币落地过程的力学分析.doc

旋转的硬币落地过程的力学分析 010647 田景峰 机15班 我们大概都有这样的经历，在桌面上竖一枚硬币，再使其高速转动，由于不可避免的存在摩擦，因此硬币的转速越来越慢，但是显然硬币不可能一直这样缓慢下去，直到静止不动最后直立在桌面上。 硬币的落地过程是：硬币平面与地平面保持一个夹角，硬币就像绕着一根垂直于地面的轴，继续转动，然后硬币在地面上轨迹的半径越来越大，硬币平面与地面的夹角越来越小，最终硬币静止于桌面。（过程由右图近似表出） 同样的过程经常见到，掉到地上地钢制碟子，倒地地铁圈，几乎所有圆板型的物体在倒地时都遵循这样一个过程。 这其中蕴涵着怎样的力学过程呢？ 理想模型 为研究这其中的力学过程，我们以这样一种思路来解决这个问题，我们先从运动学的角度来分析受力，再反其道而行之，从受力的角度来分析运动。 实际的过程由于地面的平整性的影响，受力极其复杂，为了分析的简化，我们假设这样一个理想模型：一刚体圆板O被通过其质心的轴AB固定，使之仅可绕轴转动，同时圆板保持与地面之间的无滑动纯滚动。 值得注意的一点，这个模型和实际中的硬币转动有很大不同，硬币运动时只有地面的约束，而这个模型则多了一个O点的约束。但是这种状态的运动过程与硬币的落地过程十分类似。所以，我们先来分析这个过程，然后再和真正的硬币落地过程相比较。 分析： 设圆板平面与地面的夹角为α，圆板的半径为R。在圆板的运动过程中，点O和点C瞬时不动，故直线OC为圆板运动过程中的瞬时转动轴，则刚体的瞬时角速度方向沿着直线OC的方向。 应用刚体的复合运动知识，我们以B点为坐标原点，BC方向为O`X`正方向建立动参考坐标系O`X`Y`，则动参考系作圆周运动（牵连运动），平板相对于动参考系的运动为：绕过O点垂直与板面的轴，做定轴转动（相对运动）。 设动系的转动角速度为ω1,圆板相对运动的角速度为ω2，又因为圆板与地面之间无相对滑动，则t时刻里，地面上C点移动的弧长 S1=ω1tRcosα ； 同理，圆板相对于动参考系转过的弧长 S2=ω2tR ， 又由 S1= S2,得： 将这两个角速度应用复合运动的角速度合成公式： 可得如下图的实际角速度方向，这和应用瞬时转动轴得出来的速度方向是一致的。 这时我们再来分析此刚体的加速度情况，由分析可知圆板转动过程中，ω绕着点O，保持着与水平方向的夹角α，做转动。此时的角加速度其几何意义便是：角速度矢量端图，其端点移动的速度。所以， ε = ω1ω2sinα 方向垂直于纸面向外。又由图中的几何关系易知： ω=ω1sinα，ω2=ω1cosα， 因此， ε=ω1*ω1cosαsinα=ω2ctgα ① 下面我们通过已经求得的运动参数来反推受力情况。我们首先忽略掉地面的滚动摩擦（实际上这个摩擦必须存在，否则圆板不可能做纯滚动），则圆板受到的只有地面的支持力N，物体重力G和O点出的约束力S。 设刚体绕通过质心的轴的转动惯量为J。对刚体在质心应用动量矩定理，得 J*ε=N*Rcosα 所以有，N=J*ε/R cosα 将式①代入得 N=Jω2cscα/R ② 同理对C点也应用动量矩定理（C点每一时刻速度都为零，是瞬心），可得O点约束反力 S+G= -N 也就是说，圆板在这三个力的约束下作上述运动。 为了将此模型应用于实际，我们首先要求圆板对于其自身面内通过其圆心的轴的转动惯量。 运用微元法来求解 积分后得，J=3/4mR2 ③ 实际分析 由对理想模型的分析知，当圆板受到类似于上述模型的力的组合时，圆板便照前面分析的模型一样运动。硬币落地时只受到重力G，地面的支持力N以及地面与硬币之间的摩擦力F。 如果认为N近似等于重力G,即N近似为常量，则ω的平方和α的余割成正比。 临界状态 如果α=90度，此时要求，此为圆板运动的临界状态。 初始角速度大于临界值 此时公式③失去定量的作用，但可以知道此时硬币必直立旋转，没有偏向角。即使开始时给的角速度与水平地面不垂直，旋转过程中他仍可以变成垂直于地面的旋转，这在实际中也是可以观察到的。 角速度小于临界值 圆板按照分析的运动那样旋转，也就是我们看到的硬币落地的过程。 整个硬币从开始转动到最后彻底停止运动的过程是这样的，赋予硬币一个初始角速度，一般情况下是大于临界值的，那么硬币直立旋转；由于不可避免的摩擦的存在，硬币能量损失，角速度下降，当地于临界值时，硬币开始倾斜（当然是微小的），以对地一定的夹角旋转；摩擦力继续作用，角速度继续下降，则硬币与地面的夹角持续变小，直至最后与地面相平