排列组合演示文稿.ppt

城口职教中心 罗诗明 1.　分组（堆）问题 分组（堆）问题的六个模型： ①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分； (④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.) 处理问题的原则： ①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积. ④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列. 1.分组（堆）问题 例1.有四项不同　的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？ 解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤： ⑴先将四项工程分为三“堆”，有 种分法； ⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队， 有3!＝6种给法. ∴共有6×6＝36种不同的发包方式. 2.插空法： 解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.  ♀ 　♀ 　 ♀ 　♀　♀ ↑ 　↑ 　↑ 　↑　↑　↑ 例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ 解：分两步进行： 第1步，把除甲乙外的一般人排列：有 种 第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)： 几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔. 捆绑法3 相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列. 例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? 解：（1）分两步进行： 第一步，把甲乙排列(捆绑)： 第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队： . 几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列 4.消序法(留空法) 4.消序法(留空法) 5.剪截法（隔板法）： n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 5.剪截法： n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段 变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种. 解： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 6.错位法： 编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列. 7.剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法. 巩固练习 巩固练习 4. 5个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（　） A.6　　　　B.12　　　　C.72　　　　D.144 小结 ①分堆问题； ②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 作业：　　 本讲到此结束，请同学们课后再做好复习. 谢谢！ * * 　 几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了. 例4.　5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？ 解法1：将5个人依次站成一排，有 种站法， 然后再消去甲乙之间的顺序数 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好， 有 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 变式：如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A到B只能上行或右行共有多少条不同的路线? 解: 如图所示 也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,④顺序一定的排列，有 种排法. 将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格: → 7 → 6 ↑ ④ → 5 → 4 → 3 ↑ ③ ↑ ② → 2 ↑ ① → 1 其中必有四个↑和七个→组成! 所以, 四个↑和七个→一个排序就对