第五讲函数方程不等式的思想(一).doc

第五讲 函数方程 不等式的思想（一） 一、填空题 1. 已知函数f(x)＝，若f(a)＋f(－a)＝2012，则实数a的值等于__±2011_____． 2．设的奇函数，则使的X的取值范围是 （一1，0） ． 3.若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则m的取值范围为____ (－1,0]___． 4．已知函数（其中，为常数），若的图象如右图所示，则函数在区间[－1，1]上的最大值是 ． 5．函数的定义域为，值域为[0，2]，则区间的长的最大值是 ． 6.已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为______． 7．设正实数满足，则的最小值为________． 8.已知函数，若,且，则的最小值是_－16_________． 9.已知，则的最小值为 . 10.已知函数f(x)＝ln(x＋)，若实数a，b满足f(a)＋f(b－1)＝0，则a＋b等于_____1_____． 11．已知是实数且．若，那么=_2_，此时=__. 12．设函数，对任意，都有在恒成立， 则实数的取值范围是__________． 13．已知实数x、y满足，若不等式恒成立，则实数a的最小值是__________． 14．已知定义域为D的函数，对任意，存在正数K，都有成立，则称函数是D上的“有界函数”．已知下列函数：①；②；③；④，其中是“有界函数”的是 ①②④ ．（写出所有满足要求的函数的序号） 二、解答题 15.经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t（天）的函数，且日销售量近似地满足g(t)=－t+(1≤t≤100，t∈N)．前40天价格为f(t)=t+22(1≤t≤40，t∈N)，后60天价格为f(t)=－t+52 (41≤t≤100，t∈N)，试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值． 解：当1≤t≤40，t∈N时， S(t)= g(t) f(t)= (－t+)(t+22)=－t2+2t+=－(t－12)2+， 所以768=S(40)≤S(t)≤S(12)=+12=．………………6分 当41≤t≤100，t∈N时， S(t)= g(t) f(t)= (－t+)(－t+52)= t2－36t+=(t－108)2－， 所以8= S (100)≤S(t)≤S(41)=．……………………12分 所以，S(t)的最大值为，最小值为8．…………………………14分 强化：某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．现 有两个奖励方案的函数模型：（1）；（2）．试问这两个函数模 型是否符合该公司要求，并说明理由． 解：设奖励函数模型为y＝f(x)，由题意可知该公司对函数模型应满足下列条件： 当x∈[10，1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤9恒成立；③恒成立． ①对于函数模型： 当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，则． 所以f(x)≤9恒成立． …………………………3分 因为函数在[10，1000]上是减函数，所以． 从而不恒成立． 故该函数模型不符合公司要求． …………………………7分 ②对于函数模型f(x)＝4lgx－3： 当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，则． 所以f(x)≤9恒成立． …………………………9分 设g(x)＝4lgx－3，则. 当x≥10时，， 所以g(x)在[10，1000]上是减函数，从而g(x)≤g(10)＝－1＜0， 所以4lgx－3＜0，即4lgx－3＜，所以恒成立． 故该函数模型符合公司要求． …………………………14分 16. 已知f(x)＝x4－4x3＋(3＋m)x2－12x＋12，m∈R． （1）若f ′(1)＝0，求m的值，并求f(x)的单调区间； （2）若对于任意实数x，f(x)≥0恒成立，求m的取值范围． 解：（1）由f ′(x)＝4x3－12x2＋2(3＋m)x－12，得 f ′(1)＝4－12＋2(3＋m)－12＝0，解得m＝7．…………………2分 所以 f ′(x)＝4 x3－12x2＋20x－12＝4(x－1)(x2－2x