第十章动力问题的有限元法.doc

动力问题的有限元法 动力问题： 结构受载荷作用没有达到平衡状态，或由于结构的弹性和惯性而围绕平衡位置振动时，其位移、应力、应变都是时间的函数，除各点有位移外，还有速度和加速度。 §10-1 结构的动力学方程 在动态情况下，结构承受的载荷可以随时间而变化，是时间的函数。按有限元方法，将此载荷以作功等效的原则，移置到结点上，得到的结点载荷列阵也应该是时间的函数，用表示。 此外，结构在运动中，各点除位移外，尚有速度和加速度，分别用、和表示。显然，、和不仅是坐标的函数，还是时间的函数，即 采用有限元法对结构进行离散，对任一单元，若单元的结点位移为、单元的结点速度为、单元的结点加速度向量为，则单元内的位移可由结点位移插值得到，于是 （10-1） 按照达朗贝尔原理：一个运动中的物体，若加上惯性力，则可看为静力平衡状态。 设材料密度为，则结构内单位体积的惯性力为，这对结构来说，相当于受到另外一种体力分布载荷，大小与质点的加速度成正比，而方向与加速度方向相反。 另外，在介质中运动的质点总是会受到阻力作用，如阻力与速度成正比，则单位体积的阻力为，表达式中为阻力系数，负号表明阻力方向与速度相反。 其次，设结构还受到体力和面积力作用，则结构所受总的体力为： 根据达朗贝尔原理，结构受到所有力（包括惯性力）作用处于静力平衡，于是 （10-2） 上式等式右边的第一积分相当于体力的等效结点力。 将惯性力和阻力项代入上式，得 （10-3） 上式右边第一、第二项即为一般静力分析时的等效结点力，令 （10-4） （10-5） （10-6） 、分别为惯性力和阻力对应的等效结点力，考虑到积分与结点位移无关，于是 （10-7） （10-8） 式中 （10-9） 称为单元质量矩阵，而 （10-10） 称为单位阻尼矩阵。 于是，单元动力方程化为 （10-11） 若结构系统有个单元，则对单元动力方程扩大后相加，得 （10-12） 式中 称为整个结构的质量矩阵，而 称为整个结构的阻尼矩阵。 2．质量矩阵 式（10-9）所表示的单元质量矩阵称为一致质量矩阵，因为形成质量矩阵所用的形函数与位移插值函数所用的形函数相同，单元的动能和位能是相互协调的。此外，还可采用一种较为简单的质量矩阵，它假定单元的质量团聚在单元的结点处，因此称为团聚质量矩阵。单元的一致质量矩阵是一满阵，而团聚质量矩阵为一对角阵。 以常应变三角形单元为例，一致质量矩阵 团聚质量矩阵为 3．阻尼矩阵 式（10-10）所示的单元的阻尼矩阵还可进一步表示为 由此可见，当阻力正比于速度时，阻尼矩阵正比于单元的质量矩阵，这种阻尼称为粘滞阻尼。 此外，还可假定阻尼力正比于应变速度，此时 可见此时阻尼矩阵正比于单元的刚度矩阵。由材料内摩檫引起的阻尼通常可假设为这种情况。但结构的阻尼往往是多重因素造成的，为了能更一般地描述结构的阻尼，有关文献建议将单元阻尼表示为 式中为常系数，实际计算中，通常取前两项，于是得 （10-13） 即认为阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，这种阻尼通常称为比例阻尼。 §10-2 无阻尼自由振动 为了计算动力方程，首先讨论无阻尼自由振动，即考虑 的情况 于是，动力学方程（10-12）变为 （10-14） 这便是无阻尼自由振动方程，该方程组具有下列形式的解： （10-15） 将上式代入（10-14）式，得 （10-16） 记 可将式（10-16）改写为 （10-17） 求解方程组（10-17）的问题称为广义特征值问题，满足方程（10-17）的解及其相应的向量分别称为特征值和特征向量。由此求得的就是结构的固有频率，而为相应的固有振型。 我们已经知道，当结构上的约束足以消除刚体位移时，其总体刚