第十一章_回溯法1.doc

第13章 回溯法 在实际生活中有很多问题没有有效的算法。如求哈密尔顿回路，货郎担问题等。用一般的方法解这种问题，即使中等大小的实例，所需要的时间也是以世纪来衡量。有3种方法可以有效求解这些问题：回溯法、随机算法和近似算法。其中，回溯法和基于回溯法的分支限界法，是解决这类问题的一种有效方法。 13.1回溯法简介 ?有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。 ?回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的有哪些信誉好的足球投注网站算法。回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发有哪些信誉好的足球投注网站解空间树。算法有哪些信誉好的足球投注网站至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的有哪些信誉好的足球投注网站，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略有哪些信誉好的足球投注网站。这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。 13.2问题的解空间 ?问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x1,x2,…,xn)的形式。 ?显约束：对分量xi的取值限定。 ?隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。 ?解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。 问题的解空间可以用树表示，如n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间为下图，共有8种可能的解。 注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单，所需表示的状态空间更小（存储量少，有哪些信誉好的足球投注网站方法简单）。 13.3生成问题状态的基本方法 ?扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 ?活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点 ?死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点 ?深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽有哪些信誉好的足球投注网站之后，将R重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在） ?回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法 13.4回溯法的基本思想 (1)针对所给问题，定义问题的解空间； (2)确定易于有哪些信誉好的足球投注网站的解空间结构； (3)以深度优先方式有哪些信誉好的足球投注网站解空间，并在有哪些信誉好的足球投注网站过程中用剪枝函数避免无效有哪些信誉好的足球投注网站。 常用剪枝函数： 用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树； 用限界函数剪去得不到最优解的子树。 用回溯法解题的一个显著特征是在有哪些信誉好的足球投注网站过程中动态产生问题的解空间。在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径。如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为h(n)，则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n))。而显式地存储整个解空间则需要O(2h(n))或O(h(n)!)内存空间 13.2着色问题 问题：给出一个无向图，需要使用3种颜色之一为V中的每个顶点着色，不妨设三种颜色分别为1,2,3。使得没有两个相邻的顶点有同样的颜色。 “合法着色”－全部顶点都已经被着色，且没有两个相邻的顶点有同样的颜色。 “部分着色”－部分顶点还未着色，在已经着色的顶点中，没有两个相邻的顶点有同样的颜色。 对于一个个顶点的图，那么总共可能有中可能的着色。可以使用一个完全3叉树来表示。下面使用回溯法来求解： 求解过程(省略)。 观察上述求解过程，可以概括出所有回溯法的基本特征： 有哪些信誉好的足球投注网站节点是使用深度优先有哪些信誉好的足球投注网站的方法生成。 不需要存储整个有哪些信誉好的足球投注网站树，只需要存储根节点到当前活动节点的路径。 实际上，算法执行过程中根本没有生成有形的节点，整个树形结构是隐含的。 假设顶点集合为，三着色问题算法描述如下： 递归回溯法： 输入: 无向图G=（V，E） 输出：G的顶点的3着色c[1..n],其中每个c[j] 为1，2，或3 For k ←1 to n C[k] ←0; End for flag←false Graphcolor(1) If flag then output c Else output “no solution” 过程： Graphcolor(k) For color=1 to 3 C[k] ←color If c 为合法着色 then set flag←true and exit Else if c 是部分的 then graphcolor (k+1) End for 理解递归回溯：初始时，所有颜色值置0，表示没有顶点被着色。 迭代回溯法： 输入: 无向图G=（V，E） 输出：G的顶