求解抛物线方程的常见题型.doc

投稿栏目:第2版 专题训练（人教大纲版报纸) E-mail：syqq@ 地址：湖北省襄樊市襄城区职业高级中学 邮编：441101 姓名：宋晓芬 电话求解抛物线方程的常见题型 一.知点求方程 例1：求经过点M(-2,1)的抛物线的标准方程. 分析：求抛物线的标准方程,关键是知道类型和焦参数p的值. 解：由点M(-2,1)在第二象限可知抛物线焦点在x轴的负半轴或y轴的正半轴上,故可设抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p0),代入点M得：1=-2p?(-2)或(-2)2=2p, 解得p=或p=2, ∴抛物线标准方程为y2=-x或x2=4y. 点评：此类型题易犯错误是缺少对焦点所在坐标轴的讨论,往往只设定一种形式的方程求解,导致失去一解. 二.由定义求方程 例2：动点M到定点F(0,-5)的距离减去它到定直线l：y-3=0的距离之差等于2,求动点M的轨迹方程. 分析：先将已知条件化为|MF|=|y-3|+2=|y-5|,再根据抛物线定义求出轨迹方程. 解：设点M为(x,y),由已知条件知点M到点F的距离等于它到直线y-5=0的距离,根据抛物线的定义,点M的轨迹是以F(0,-5)为焦点的抛物线. ∵=5 ∴p=10 ∵焦点在y轴的负半轴上,所以点M的轨迹方程是x2=-20y 点评：若将条件转化为|MF|-2=|y-3|,其中|MF|用两点间距离公式表示,再化简原方程,过程将非常繁琐. 三.知弦长求方程 例3：求焦点在x轴上且截直线y=x-2所得弦长为2的抛物线的标准方程. 分析：焦点在x轴上的抛物线有开口向左和开口向右两种情况,为了避免讨论,可统一设抛物线方程为y2=ax(a≠0). 解：设抛物线方程为y2=ax(a≠0),将直线y=x-2代入整理得：x2-(4+a)x+4=0, 则弦长|AB|==2,解得：a=2或-10,∴所求抛物线方程为y2=2x或y2=-10x 点评：用待定系数法求抛物线的标准方程时,如果开口方向不确定,可设抛物线方程为y2=ax(a≠0)或 x2=ay(a≠0) 四.由三角形求方程 例4：抛物线y2=2px(p0)有一个内接直角三角形,直角顶点在原点,一直角边的方程为y=,斜边长为,求这个抛物线方程. 分析：由两直角边互相垂直可得另一直角边的方程,由于原点是直角顶点,则另两个顶点可联立抛物线方程和直线方程求得,然后根据勾股定理求出p. 解：设一直角边OA的方程为y=,则另一直角边OB的方程为y=-2x, 由 得 或 ∴A(8p,4p) 由 得 或 ∴B(,-p) ∵|OA|2+|OB|2=|AB|2 ∴(8p-)2+(4p+p)2=()2 ∴p= ∴抛物线方程为y2=x 点评：本题综合应用三角形与抛物线知识求方程,准确求出三角形的另外两个顶点是关键. 总之, 求解抛物线方程,需要先确定方程的类型,然后根据已知条件求出焦参数p的值.