计算机算法总结.doc

算法总结 1.穷举法 穷举法，又称暴力算法，即列举问题解空间所有可能情况，并逐个测试，从而找出符合问题条件的解。这份通常是一种费时算法，人工手动求解困难，但计算机的出现使得穷举法有了用武之地。例如:密码破译通常用的是穷举法，即将密码进行逐个推算直到找到真正的密码为止。理论上讲，穷举法可以破解任何一种密码，但对于一个长度为n位的密码，其可能的密码有2^n种。可见，当n较大时穷举法将成为一个N问题。 典型例题 【百钱买鸡问题】公元5世纪末，中国古代数学家张丘建在他的《算经》中提到了著名的“百钱买百鸡”问题:鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问翁、母、雏各几何？ 分析:设鸡翁、鸡母、鸡雏的个数各为x、y、z,百钱买百鸡问题可以用如下方程式表示: 5x+3y+z/3=100 x+y+z=100 1=x20,1=y33,3=z100,z mod3=0 对于百钱买白鸡问题，很容易用穷举法对x、y、z的取值，判断方程（1）、（2）及z mod3=0是否成立，若成立，则是问题的一个解。 百钱买白鸡问题求解算法: //百钱买白鸡问题穷举算法 //设鸡翁、鸡母、鸡雏的个数分别为x、y、z for（x=1;x20;x++） for（y=1;y33;y++） for（z=3;z100;z++） if（x+y+z= =100）and（5x+3y+z/3==100）and（z mod 3==0） writeln（x,y,z） 上述算法是一个三重循环，最内层的条件判断需要执行19*32*97次，即58976。在条件判断中，利用了整数的求模运算，如果将鸡雏的个数设为3z，可以避免该项判断，且可减少内重循环次数。即: for（z=1;z34;z++） if（x+y+3z==100）and（5x+3y+z==100） writeln（x,y,3z） 【 0-1背包问题】给定n种物品和一个背包，物品i的重量是Wm。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包的物品总价值最大？ 分析:所谓0-1背包问题，是指在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。另外，不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。0-1背包问题是一种组合优化的NP完全问题，最容易想到方法的就是穷举法。0-1背包问题求解的穷举算法。 //设数组w[0n–1]存储n件物品的重量，数组c[0n-1]存储n件物品的价值，数组b[0n-1]为标识数组，若物品i未选择，则b[i-1]=b[i-1]=1 cmax=0 for（i=1;i=2^n-1;i++） { b[0..n-1]=将i转化为n位的二进制字符串 tempw=求和b[j]*w[j] tempc=求和b[j]*c[j] If（tempwwmaxtempccmax） { tempb=b[0..n-1]; cmax=tempc; } } 输出最佳方案tempb[0..n-1],cmax 结束 2.递推法 递推算法是一种根据递推关系进行问题求解的方法。递推关系可以抽象为一个简单的数学模型，即给定一个数的序列递推算法的基本思想是把一个复杂庞大的计算过程转化为简单过程的多次重复。该类算法利用了计算机速度快和自动化的特点。递推算法是一种简单的算法，通过已知条件利用特定的递推关系可以得到中间推论，直至得到问题的最终结果。递推算法分为顺推法和逆推法两种。 【斐波那契数列算法1】斐波那契数列，又称为黄金分割数列。在数学上，斐波那契数列可以用递推方法定义，其递推公式为F1=0,F2=1,Fn=Fn-1)+F(n-2)(n=3,n∈N*)。写一算法求斐波那契数列第10项的值。 分析从斐波那契数列的定义可知，数列的第一项为一，第二项也为一，递推关系是当前项等于前二项之和。因此，通过顺推可以得到f3)=f(1)+f(2)=2,f(4)=f(2)+f(3)=3,f(5)=f(3)+f(4)=5，以此类推，可以得到f10)的值。 斐波那契数列的顺推算法: //求斐波那契数列第十项的值并输出 f[1]=1 f[2]=2 n=3 while（n=10） { f[n]=f[n-1]+f[n-2] n=n+1 } write(f[10]) 3.递归法 递推是从已知条件出发，一步步递推出未知项，直到问题的解。递归也是递推的一种，只不过它是对待解问题的递推，直到把一个复杂的问题递推为简单的易解问题，然后再一步步返回，从而得到原问题的解。 【斐波那契数列算法2】利用递归思想写出求斐波那契数列的递归算法。分析：在问题求解中，求解同一个问题的方法通常不止一个。根据递归法的思想，由斐波那契数列递推公式可以很容易地写出递归算法，伪代码描述如下。 求斐波