固体能量结构和状态讲义.ppt

材料物理性能 李玉芳 绪论 第一章 固体能量结构和状态 主要内容 薛定谔方程（波粒二象性，波函数，薛定谔方程） 固体的电子结构（经典自由电子理论， 自由电子费米气体，固体能带理论基础*） 晶格振动与声子（晶格振动，声子） 基本要求 建立固体能量结构的观念，包括的德布罗意波；薛定谔方程；费米-狄拉克分布函数，禁带起因，能带结构以及晶格振动，声子的概念等。 对 x 求二阶偏导 对 t 求一阶偏导 自由粒子动量与能量关系 ① ② 代入①式移项 2. 一维自由粒子Schrodinger方程 §1.1 薛定谔方程 1.1.3 薛定谔方程 一维自由粒子Schrodinger方程 如果粒子在势能为Ep的势场中,则其总能量为E=Ek+Ep=p2/2m+Ep。将此式代入上式，有 这就是一维粒子在势场中的一般Schrodinger方程 §1.1 薛定谔方程 1.1.3 薛定谔方程 3.定态Schrodinger方程 定态：粒子在势场中运动，而势场只是坐标 x 的函数，与时间 t 无关，且系统能量 E 是与 t 无关的常量，系统为定态。 由 则定Schrodinger方程 §1.1 薛定谔方程 1.1.3 薛定谔方程 推广到三维空间 引入Laplace算符 一般定态Schrodinger方程. §1.1 薛定谔方程 1.1.3 薛定谔方程 4.标准条件 要使上式解得的波函数是合理的，? 必须满足一定的条件—标准条件： ① ② 应为有限值 可以归一化； ③ 应连续； 应为单值函数。 §1.1 薛定谔方程 1.1.3 薛定谔方程 薛定谔方程应用之一。粒子处在Ep的力场中作一维运动。 粒子只能在宽为 a 的两个无限高势壁间运动。 一维方势阱中粒子的波函数 §1.1 薛定谔方程 1.1.3 薛定谔方程 势阱内Ep=0 薛定谔方程 令 谐振方程 通解 §1.1 薛定谔方程 1.1.3 薛定谔方程 由边界条件 有 有 只有 波函数 §1.1 薛定谔方程 1.1.3 薛定谔方程 势阱内粒子 E 只能取不连续值，能量量子化是 n 为量子数 能量量子化 由 §1.1 薛定谔方程 1.1.3 薛定谔方程 当 微观尺度 宏观尺度 §1.1 薛定谔方程 1.1.3 薛定谔方程 讨论 ①.经典理论中，处于无限深方势阱中粒子的能量为连续值，粒子在阱内运动不受限制，各处概率相等。 §1.1 薛定谔方程 1.1.3 薛定谔方程 ②. n 很大时，相邻波腹靠得很近，接近经典力学各处概率相同。 §1.1 薛定谔方程 1.1.3 薛定谔方程 ③势阱内任两相邻能级差 ④ a 很小时，电子在原子中运动，DE 大，量子化显著， a 较大时，DE小，量子化不显著，连续变化。 §1.1 薛定谔方程 1.1.3 薛定谔方程 固体中电子的能量结构与状态是什么样的呢？ §1.2 固体的电子结构 1.2.1经典自由电子理论 建立在价电子公有化假设基础上的德鲁特—洛仑兹(Drude-Lorentz)经典自由电子论认为，价电子可以在整个金属中完全自由运动，如同气体分子在一个容器中一样遵守分子运动论的经典力学规律，且不同速率的粒子数N(v)服从麦克斯韦—波尔兹曼(Maxwell—Bolzmann)分布，即 式中N为粒子总数；m为粒子质量；K为波尔兹曼常数。 §1.2 固体的电子结构 1.2.2金属自由电子理论 在量子力学创立以后，人们认识到必须用量子理论来研究金属中电子的行为．大约在1928年，索末菲提出：可以认为金属内部的势场是恒定的，金属中的价电子在这个平均势场中彼此独立地运动，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的；每一个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子都满足泡利不相容原理，因此，电子气不服从经典的统计分布而服从量子的费米——狄拉克分布律．这就是现代的金属电子理论—一通常称之为金属的自力电子模型。 §1.2 固体的电子结构 1.2.2金属自由电子理论 一、电子的能量状态及态密度 根据量子自由电子模型，可以认为，金属价电子是在金属内的恒定势场中运动，其薛定谔方程为 V(r)是一个常量，可取作零，这样上式可写成 §1.2 固体的电子结构 1.2.2金属自由电子理论 方程的解可写成 其中A是归一化常数，由波函数的归一化性质 （1） 得出 （假设晶体是边长为L的立方体） （1）式中的k满足方程 （2） §1.2 固体的电子结构 1.2.2金属自由电子理论 根据德布罗意关系可得 其中，λ是自由电子的波长, k是它的波数． 由周期性边界条件．可以写出 §1.2 固体的电子结构 1.2.2金属自由电子理论 代入（1）式得 §1.2 固体的电子结构 1.2.2金属自由