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22.2 二次函数与一元二次方程
(第1课时)
问题: 如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系
h = 20t-5t 2
考虑以下问题:
(1)球的飞行高度能否达到15m?如能,需要多少飞行时间?
(2)球的飞行高度能否达到20m?如能,需要多少飞行时间?
(3)球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?
(4)球从飞出到落地需要用多少时间?
所以可以将问题中h的值代入函数解析式,得到关于t的一元二次方
程,如果方程有合乎实际的解,则说明球的飞行高度可以达到问题中h
的值;否则,说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.
解:(1)解方程
15=20t-5t 2
t 2-4t+3=0
t1=1,t2=3
当球飞行1s和3s时,它的高度为15m.
分析:由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数
h=20t-5t 2
t1=1s
t2=3s
15m
15m
(2)解方程
20=20t-5t 2
t 2-4t+4=0
t1=t2=2
当球飞行2s时,它的高度为20m.
t1=2s
20m
(3)解方程
20.5=20t-5t 2
t 2-4t+4.1=0
因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无解.
球的飞行高度达不到20.5m.
20m
(4)解方程
0=20t-5t2
t2-4t=0
t1=0,t2=4
当球飞行0s和4s时,它的高度为0m,即0s时球从地面发出,4s时球落回地面.
0s
4s
从上面可以看出,二次函数与一元二次方程关系密切.
一般地,我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0
例如,已知二次函数y = -x2+4x的值为3,求自变量x的值,
可以解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0).
反过来,解方程x2-4x+3=0 又可
以看作已知二次函数 y = x2-4x+3 的值为0,求自变量x的值.
下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?由此,你能得出相应的一元二次方程的根吗?
(1)y = x2+x-2
(2)y = x2-6x+9
(3)y = x2-x+1
(1)抛物线y = x2+x-2与x轴有两个公共点,它们的横坐标是-2,1.当x取公共点的横坐标时,函数的值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1.
(2)抛物线y = x2-6x+9与x轴有一个公共点,这点的横坐标是3. 当x = 3 时,函数的值是0.由此得出方程 x2-6x+9=0有两个相等的实数根3.
(3)抛物线y = x2-x+1与x轴没有公共点,由此可知,方程x2-x+1=0没有实数根.
(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共
点,有两个公共点,这对应着一元二次方程根的三种情况:没有实数根,
有两个相等的实数根,有两个不等的实数根.
一般地,从二次函数y=ax2+bx+c 的图象可知
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有公共点,公共点的横坐标是
x0,那么当x =x0时,函数的值是0,因此x = x0 就是方程
ax2+bx+c=0 的一个根.
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