九年级数学(下)第三章圆垂径定理案例分析.ppt

2015.01 2015.01 3.3 垂径定理 阳山县青莲中学数学组 九年级数学(下)第三章 圆 1.圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴. 2.圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心. 知识回顾 4.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 5.定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 3.顶点在圆心的角叫做圆心角. ③AM=BM, 垂径定理 AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由. ●O 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 小明发现图中有: A B C D M└ 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 垂径定理 证明：连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM ∴Rt△OAM≌Rt△OBM ∴AM=BM, ∠AOC=∠BOC ∵∠AOD=180°－∠AOC, ∠BOD=180°－∠BOC ∴ ∠AOD=∠BOD 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 ●O A B C D M└ ③ AM=BM 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ●O A B C D M└ 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 ∵CD是直径， CD⊥AB ,AB是弦 ∴AM=BM，AD＝BD，AC＝BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ②CD⊥AB, 垂径定理的逆定理 AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说 你的想法和理由. ●O 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? C D 由 ① CD是直径 ③ AM=BM 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ● M A B ┗ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ∵CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB ∴CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 垂径定理的应用 例1 :如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 解:连接OC. ●O C D E F ┗ 讨论 （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧 （3） （1） （2） （4） （5） （2） （3） （1） （4） （5） （1） （4） （3） （2） （5） （1） （5） （3） （4） （2） （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 （3）平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧 ●O A B C D M└ 命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ∵CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB ∴CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ∵ AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB， ∴ CD是直径， AD＝BD，AC＝BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 命题（3）：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧 ∵ CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD （AC＝BC） ∴ CD平分AB，AC＝BC（AD＝BD）CD ⊥AB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ . O A E B D C 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 （3）平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧 垂径定理 记忆 . O A E B D C ●O A B C D M└ 弧的中点到弦的距离,叫弓形高或弓高，如图线段CM是弓高 圆心到弦的距离,叫弦心距。如图线段OM是O到弦AB的弦心距。 赵州石拱桥 1. 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 赵州石拱桥 解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm， 经过