第三章静态场及其边值问题的解案例分析.ppt

2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 第一课 第一课 第一课 3.1 静电场分析 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 本节内容 3.4.1 边值问题的类型 3.4.2 惟一性定理 3.4.1 边值问题的类型 3.6 分离变量法 导体圆柱面外的电位函数： 由 时， 故 导体圆柱面上的感应电荷面密度为 导体圆柱面上单位长度的感应电荷为 导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。 2. 两平行圆柱导体的电轴 图1 两平行圆柱导体 图2 两平行圆柱导体的电轴 特点：由于两圆柱带电导体的电场互相影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷密度较小。 分析方法：将导体表面上的电荷用线密度分别为 、且相距为2b 的两根无限长带电细线来等效替代，如图 2所示。 问题：如图1所示，两平行导体圆柱的半径均为a，两导体轴线间距为2h，单位长度分别带电荷 和 。 图2 两平行圆柱导体的电轴 通常将带电细线所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这种方法又称为电轴法。 由 利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定b 。 思考：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？ 3.5.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像 图1 点电荷与电介质分界平面 特点：在点电荷的电场作用下，电介质产生极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。 图2 介质1的镜像电荷 问题：如图 1 所示，介电常数分别为 和 的两种不同电介质的分界面是无限大平面，在电介质 1 中有一个点电荷q ，距分界平面为h 。 分析方法：计算电介质 1 中的电位时，用位于介质 2 中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为 的均匀介质，如图2所示。 单位长度内总的磁场能量为 单位长度的总自感 内导体的内自感 内外导体间的外自感 外导体的内自感 3.3.5 磁场力 假定第i 个回路在磁场力的作用下产生一个虚位移dgi 。此时，磁场力做功d A＝Fi dgi，系统的能量增加dWm。根据能量守恒定律，有 式中dWS是与各电流回路相连接的外电源提供的能量。 具体计算过程中，可假定各回路电流维持不变，或假定与各回路交链的磁通维持不变。 虚位移原理 1 . 各回路电流维持不变 若假定各回路中电流不改变，则回路中的磁链必定发生改变，因此两个回路都有感应电动势。此时，外接电源必然要做功来克服感应电动势以保持各回路中电流不变。此时，电源所提供的能量 即 于是有 故得到 不变 系统增加的磁能 2. 各回路的磁通不变 故得到 式中的“－”号表示磁场力做功是靠减少系统的磁场能量来实现的 。 若假定各回路的磁通不变，则各回路中的电流必定发生改变。由于各回路的磁通不变，回路中都没有感应电动势，故与回路相连接的电源不对回路输入能量，即 dWS＝0，因此 不变 例3.3.9 如图所示的一个电磁铁，由铁轭（绕有N 匝线圈的铁心）和衔铁构成。铁轭和衔铁的横截面积均为S ，平均长度分别为 l1 和 l2 。铁轭与衔铁之间有一很小的空气隙，其长度为x 。设线圈中的电流为I ，铁轭和衔铁的磁导率为 。若忽略漏磁和边缘效应，求铁轭对衔铁的吸引力。 解 在忽略漏磁和边缘效应的情况下，若保持磁通Ψ 不变，则B 和H 不变，储存在铁轭和衔铁中的磁 场能量也不变，而空气隙中的磁场能量则 要变化。于是作用在衔铁上的磁场力为 电磁铁 空气隙中的 磁场强度 变 若采用式 计算，由储存在系统中的磁场能量 由于 和 ，考虑到 ，可得到 同样得到铁轭对衔铁的吸引力为 根据安培环路定理，有 　边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或 拉普拉斯方程 已知场域边界面S 上的位函数值，即 　第一类边值问题（或狄里赫利问题） 已知场域边界面S 上的位函数的法向导数值，即 已知场域一部分边界面S1 上的位函数