(1.5)第五节极限运算法则(少学时简约型)综述.ppt

由于多项式总是经由加法和乘法运算构成的，因此 本例的计算过程也适用于一般多项式在一点 x 0 处的极 限的计算。对于一般的多项式 P n( x )= a 0 x n + a1 x n -1 + … + a n -1 x + a n， 求其在一点 x = x 0 处的极限 可作如下计算 因为对 1 ? k ? n 有 于是由极限运算法则有 例：求极限 对此分式的极限， 考虑由极限的运算法则进行计 算，为此先验证商的极限运算法则条件是否满足。 因为 因此由商的极限运算法则有 用极限运算法则计算 由于有理分式函数总是经由加、减、乘、除四种运 算构成的，因此本例的计算过程也适用于一般有理分式 函数在一点 x 0 处的极限计算。 对于一般的有理分式函数 P m( x )= a 0 x m + a1 x m- 1 + … + a m - 1 x + a m， Q n( x )= b 0 x n + b 1 x n - 1 + … + b n - 1 x + b n，Q n( x0 )? 0 , 求其在一点 x = x 0 处的极限 可作如下计算 由于 故由商的极限法则有 由上计算看出，对有理函数 f( x )而言，只要 f( x ) 在点 x 0 处有定义，则当 x → x 0 时，f( x )的极限必存在, 且其极限值等于 f( x )在点 x 0 处的函数值。 此处不加证明地指出：一切基本初等函数在其定 义域内都具有这样的性质，即若 f( x )是基本初等函数, 其定义域为 D f ，则当 x0 ? D f 时有 由此可得计算基本初等函数在一点处的极限的一 种简便的方法：为求基本初等函数在其定义域内的点 x 0 处的极限，只需计算函数在该点处的函数值即可。 (2) 不定式极限的计算 例：求极限 这是个商的极限问题，由于 不能直接应用商的极限运算法则计算。 注意到 ，故对此分母为无穷小的 商的极限，可利用无穷小与无穷大的关系进行计算。 因为 故有 利用无穷小与无穷大的关系计算 例：求极限 这是个商的极限问题，由于 不能用商的极限运算法则计算。同时由于 故也不能利用无穷小与无穷大的关系进行计算。 对此“0/0”型的不定式，由于其分子、分母是同 类函数，因而它们必有公共的零因子，故可考虑消去二 二者公共的零因子，将其转化为定式进行计算。 约去公共零因子，化为定式计算 本例的方法具有一般性，即对于“0/0”型不定式, 若其分子、分母是同类函数，可设法先将分子、分母 的零因子分离出来，并通过消去公共的零因子，将其 转化为定式计算，这一方法称为“无穷小分离法”。 例：求极限 对此“0/0”型不定式，由于其分子、分母是同 类函数，故必有公共零因子，因此可考虑分离并消去公 共零因子，将其转化为定式进行计算。 分离出公共零因子，化为定式计算 例：设 P m( x )= a 0 x m + a1 x m- 1 + … + a m- 1 x + a m， Q n( x )= b 0 x n + b 1 x n - 1 + … + b n- 1 x + b n， 其中 a 0 ? 0，b 0 ? 0，求： 这是个有理分式求 x → ? 时的极限问题。容易 看出它是个“?/?”型不定式。由于该有理式的分子、分 母是同类函数，因此想到，在分离出二者的公共无穷大 因子并消去，将其转化为定式计算。 “?/?”型不定式极限的存在性取决于分子、分母 趋于无穷的速度之比，即取决于二者的无穷大级别。本 例分子、分母的无穷大因子的级别显然与 m、n 有关， 因此应就 m、n 的不同取值进行讨论。 按分子、分母无穷大级别讨论计算 m = n，即 n - m = 0 m n，即 n - m 0 综上讨论有 m n，即 m - n 0 本例所用的方法称为无穷大分离法。 对于“?/?”型不定式，若其分子、分母是同类 函数，可设法先将二者的无穷大因子分离出来，并通 过消去公共的无穷大因子将其转化为定式进行计算。 消去无穷大因子的方法是，通过观察确定分子、 分母中级别最高的无穷大因子，然 后在分离出该无穷大因子并消去。