立体几何专题复习案例分析.ppt

10. （2009·潍坊模拟）若A、B两点的坐标分别是A(3cosθ,3sinθ,1)，B（2cosα,2sinα,1），则|AB|的取值范围是——. 解析 ： ∵|cos(θ-α)|≤1,∴ ∈［1,25］,即|AB|∈［1,5］. 答案 ［1，5］ 11. 在空间直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标为A(-1,2,3),B(2, -2,3),C( , ,3).求证:△ABC为直角三角形. 即△ABC为直角三角形. 12. 如图,正方体边长为1,以正方体的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上.当点P为对角线AB中点,点Q在棱CD上运动时,求|PQ|的最小值. 解析 由题意知,点P的坐标为( , , )设Q的坐标为(0,1,z), 其中0≤z≤1, 则 所以当z= 时, 有最小值 ,从而|PQ|有最小值 . cos〈n1，n2〉 -cos〈n1，n2〉 * * 5. 如图所示,在四面体A-BCD中,截面EFGH平行于对棱AB和CD.试问:截面在什么位置时,截面的面积最大? 解析 ∵AB∥平面EFGH,平面EFGH与平面ABC和 平面ABD分别交于FG、EH, ∴AB∥FG,AB∥EH,∴FG∥EH. 同理可证,EF∥GH. ∴四边形EFGH是平行四边形. 设AB=a,CD=b,∠FGH=α(a、b、α均为定值,其中α为异面直线AB与CD所成的角),又设FG=x,GH=y, 由平面几何知识,得 两式相加,得 ,即 举一反三 ∵x0,a-x0,且x+(a-x)=a(定值)， ∴当且仅当x=a-x,即x= 时, 故当截面EFGH的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的中点时,截面 面积最大. 易错警示 【例】如图所示，平面α∥平面β，点A∈α,C∈α，点B∈β，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD.求证：EF∥β. 错解 ∵α∥β，∴AC∥BD. 又AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD. 又EFβ，BDβ，∴EF∥β. 错解分析 上述解法的错误在于未讨论AB与CD是否共面，而直接把AB、CD作为共面处理，忽视异面的情况.本题中对AB、CD位置关系的讨论具有一定的代表性，可见分类讨论的思想在立体几何中也多有体现. 正解 ①当AB，CD在同一平面内时， 由α∥β，α∩平面ABDC=AC， β∩平面ABDC=BD，∴AC∥BD, ∵AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD, 又EFβ，BDβ，∴EF∥β. ②当AB与CD异面时，如右图所示， 设平面ACD∩β=DH，且DH=AC. ∵α∥β，α∩平面ACDH=AC，∴AC∥DH, ∴四边形ACDH是平行四边形. 在AH上取一点G，使AG∶GH=CF∶FD， 又∵AE∶EB=CF∶FD， ∴GF∥HD,EG∥BH， 又EG∩GF=G，BH平面β，DH平面β， ∴平面EFG∥平面β.∵EF平面EFG，∴EF∥β. 综上，EF∥β. 考点演练 10. 如图,下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥面MNP的图形的序号是——.(写出所有符合要求的图形序号) 解析 ①图中,∵MN∥AD,NP∥AC,∴平面MNP∥平面AB，∴AB∥平面MNP. ②图中,AB不平行于平面MNP(反证法).连接BE,分别交CD、MP于R、Q,若AB∥平面MNP,则AB∥NQ.又由N为AE中点,R为BE中点，得AB∥NR.在平面ABE中过点N有两条直线平行于AB,与平行公理矛盾.故AB不平行于平面MNP. ③图中,∵AD BC,∴四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD.又∵MP∥CD,∴AB∥MP，故AB∥平面MNP. ④图中,AB不平行于面MNP(反证法).若AB∥平面MNP,则AB∥DM.又由AD BC,得四边形ABCD是平行四边形,故AB∥CD.在平面ABCD中过点D有两条直线平行于AB,与平行公理矛盾.故AB不平行于平面MNP. 答案 ①③ 11. 如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH. 证明 连接AC，交OB于O，连接MO. ∵OC=OA,CM=MP,∴OM∥AP. ∵AP平面DBM，OM平面DBM， ∴AP∥平面DMB, ∵AP平面APGH，平面APGH∩平面DMB=GH， ∴AP∥GH. 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质 基础梳理 1. 直线与平面垂直 (1)定义:如果直线 与