-致收敛函数列与函数项级数的性质.docVIP

§2一致收敛函数列与函数项级数的性质 有了一致收敛概念我们就可以回答本章开始时提出的问题。 连续性 定理A 设在上,且对,函数在上连续 , 在上连续. 证 要证 : 对, 在点连续 . 即证: 对, , 当 |时, . . 估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项可以任意小; 而由函数在点连续, 第二项也可以任意小 . …… 推论 设在上. 若在上间断 ，则函数列{}在上一致收敛和所有在上连续不能同时成立. 註 定理A表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列{}, 有 . 即极限次序可换 .由定理A可推得 定理13.9（连续性） 若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项连续，则其和函数在连续，即 。 可积性 定理B 若在区间上函数列{}一致收敛 , 且每个在上连续. 则有 . 证 设在上, 由Th1, 函数在区间上连续,因此可积. 我们要证 . 注意到 , 可见只要在上成立. 定理的条件可减弱为: 用条件“在上( R )可积”代替条件“在上连续”. 证明可参阅 江泽坚著《数学分析》上册P350. 关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是: 定理 设{}是定义在区间上的函数列. 若{}在上收敛且一致可积 , 则其极限函数在上( R)可积 , 且有 . 由定理B可推得 定理13.10（逐项求积性）若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项连续，则可逐项求积，即 例 研究函数 的连续性，可积性和可微性。 可微性: 定理C 设函数列{}定义在区间上, 在某个点收敛. 对, 在上连续可导, 且由导函数构成的函数列{}在上一致收敛, 则函数列{}在区间上收敛, 且有 . 证 设，. , . 对, 注意到函数连续和 +, 就有 + + +. 估计 |+ ― ― |―| + |, 可证得. . 即 . 亦即求导运算与极限运算次序可换. 由定理C可推得 定理13.11（逐项求导性） 若函数项级数在区间上每一项连续有连续导数，为的收敛点，且 在上一直收敛，可逐项求导，即 例 证明函数在区间内连续. 证 ( 先证在区间内闭一致收敛.)对，有 ，；又，在一致收敛. ( 次证对, 在点连续 ) 对, 由上段讨论 , 在区间上一致收敛; 又函数连续, 在区间上连续, 在点连续. 由点的任意性, 在区间内连续. 例 , . 计算积分 .