1极限与导数.docVIP

极限与导数 一、复习策略 　　极限的概念及其渗透的思想在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具． 1、有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数极限的和（或积），在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限． 2、两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在． 3、对 型的极限，要分别通过“约去使分母为零的因式、同除以分子、分母的最高次幂、有理化分子”等变形，化归转化后再求极限值． 4、求函数的极限的几种基本的方法: 　　①代入法；②约去分母为零的因式；③分子、分母同除x的最高次幂；④有理化法 5、函数f（x）在点x0处连续必须具备以下三个条件： 　　函数f（x）在点x=x0处有定义; 　　函数f（x）在点x=x0处有极限; 　　函数f（x）在点x=x0处的极限值等于在这一点x0处的函数值，即f（x）=f（x0）． 　　导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具．在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面: 1、导数的常规问题： 　　(1)刻画函数(比初等方法精确细微)； 　　(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线)； 　　(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于n次多项式的导数问题属于较难类型． 2、关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便． 3、导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意． 4、求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行： 　　(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系； 　　(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)； 　　(3)把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数． 　　也就是说，首先选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导，中间变量对自变量求导；最后求，并将中间变量代回为自变量的函数．整个过程可简记为分解——求导——回代．熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量． 二、典例剖析 例1、在处可导，则________，________． 解： 　　函数在处可导，则必连续，，　　，，∴ ． ，，∴ ，． 例2、(08福建)已知函数的导函数的图象如下图，那么图象可能是(　) 解： 　　从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同，可以排除B答案，再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快慢，可明显看出的导函数是减函数，所以原函数应该增加的越来越慢，排除AC，最后就只有答案D了，可以验证y=g(x)的导函数是增函数，增加越来越快． 答案：D 例3、若数列{an}的首项为a1=1，且对任意n∈N*，an与an＋1恰为方程x2－bnx＋cn=0的两根，其中0＜|c|＜1，当(b1＋b2＋…＋bn)≤3时，求c的取值范围． 解： 　　首先，由题意对任意n∈N*，an·an＋1=cn恒成立． 　　∴===c．又a1·a2=a2=c． 　　∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…是首项为1，公比为c的等比数列，a2，a4，a6，…，a2n，…是首项为c，公比为c的等比数列．其次，由于对任意n∈N*，an＋an＋1=bn恒成立． 　　∴==c．又b1=a1＋a2=1＋c，b2=a2＋a3=2c， 　　∴b1，b3，b5，…，b2n－1，…是首项为1＋c，公比为c的等比数列，b2，b4，b6，…，b2n，…是首项为2c，公比为c的等比数列， 　　∴(b1＋b2＋b3＋…＋bn) 　　= (b1＋b3＋b5＋…)＋(b2＋b4＋…) 　　=＋≤3． 　　解得c≤或c＞1，∵0＜|c|＜1，∴0＜c≤或－1＜c＜0． 　　故c的取值范围是(－1，0)∪(0，］． 例4、(2006浙江)已知函数=x3＋x2，数列 {xn}(xn＞0)的第一项x1=1，以后各项按如下方式取定：曲线y=f(x)在处的切线与经过(0，0)和(xn，f(xn))两点的直线平行(如图)．求证：当n时： 　　(I)；(II) 　　证明：(I)∵ 　　∴曲线在处的切线斜率 　　∵过和两点的直线斜率是 　　∴. 　　(II)∵函数当时单调递增， 　　而 　　， 　　∴，即 　　因此 　　又∵ 　　令则 　　∵∴ 　　因此故 例5、(07山东卷)设函数，其中． 　　证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值． 证明： 　　因为，所以的定义域为． 　　． 　　当时，如果在上单调递增； 　　如果在上单调递减． 　　所以当，函数没有极值点． 　　当时， 　　 　　令，得(舍去)，， 　　当时，随的变化情况如下表： 0