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普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座6）—函数与方程 一．课标要求： 1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。，把使成立的实数叫做函数的零点。 函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。 二次函数的零点： １）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点； ２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点； ３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。 零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。 2.二分法 二分法及步骤： 对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间，，验证·，给定精度； （2）求区间，的中点； （3）计算： ①若=，则就是函数的零点； ②若·，则令=（此时零点）； ③若·，则令=（此时零点）； （4）判断是否达到精度； 即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。 注：函数零点的性质 从“数”的角度看：即是使的实数； 从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标； 若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点； 若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。 注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。 3．二次函数的基本性质 （1）二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c；y=a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n。 （2）当a0，f(x)在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令x0= (p+q)。 若－p，则f(p)=m，f(q)=M； 若p≤－x0，则f(－)=m，f(q)=M； 若x0≤－q，则f(p)=M，f(－)=m； 若－≥q，则f(p)=M，f(q)=m。 （3）二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。 ①方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)0； ②二次方程f(x)=0的两根都大于r ③二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根 ④二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根f(p)·f(q)0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。 四．典例解析 题型1：方程的根与函数零点 例1．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（ ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞) （2）设a为常数，试讨论方程的实根的个数。 解析： （1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C。 （2）原方程等价于 即 构造函数和，作出它们的图像，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得： ①当或时，原方程有一解； ②当时，原方程有两解； ③当或时，原方程无解。 点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。 例2．（2005广东19）设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有。 （Ⅰ）试判断函数的奇偶性； （Ⅱ）试求方程=0在闭区间［－2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论。 解析：由f(2－x)=f(2+x),f(7－x)=f(7+x)得函数的对称轴为, 从而知函数不是奇函数, 由 ,从而知函数的周期为 又,故函数是非奇非偶函数; (II)由 (III) 又 故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[－2005.0]上有400个解,所以函数在[－2005,2005]上有802个解。 点评：解题过程注重了函数的数字特征“