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钻石卡辅导：2012考研数学强化阶段重要题型攻略之高等数学（十六） 万学海文 在历届考研试题中，含有变限积分与原函数的综合题是比较多的，它的基础知识是需要掌握的，万学海文数学钻石卡考研辅导专家们在此给出相关做题方法，便于2012年考研的考生复习。下面，我们接着来看一下“求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域”。求幂级数的收敛域，一般先求出收敛半径及收敛区间，再考虑区间端点处的敛散性，此时转化为数项级数敛散性的判别．对于求幂级数的收敛半径及收敛区间，通常有以下两种情形． 【方法一】如果幂级数为标准形，则可直接利用公式，由，得收敛半径为，收敛区间为． 【方法二】如果幂级数为缺项幂级数，如，则不能直接利用公式．这时可将幂级数看做一般的函数项级数，由比值判别法，先求，再令，解出的取值范围，即为收敛区间．收敛区间长度的一半即为收敛半径． 求得收敛区间后，再考察数项级数与的敛散性，即可得到收敛域，需注意的是： （1）一般不能用比值法或根值法判定级数与的敛散性． （2）幂级数经过有限次的逐项求导或逐项积分，不改变其收敛半径与收敛区间，但在收敛区间端点的敛散性可能会改变． 【例1】下面有四个命题： ①若的收敛域为，则幂级数的收敛域为． ②设幂级数在处条件收敛，则它的收敛半径． ③设幂级数的收敛半径分别为，则的收敛半径为． ④设，且满足，则收敛． 这些命题中正确的个数是（ ）． A．0 B．1 C．2 D．3 解 关于命题①，取，其收敛域为[－1，1]，但的收敛域为[－1，1），所以①不正确． 关于命题②，设幂级数的收敛半径为．若，由于对满足的任意，级数绝对收敛，从而推出绝对收敛，这与已知矛盾；若，由于对满足的任意，级数发散，从而推出发散，也与已知矛盾．因此，②正确． 关于命题③，当时，，于是要考察的情形．设有两个级数，易求得它们的收敛半径为，但的收敛半径为，因此③不正确． 关于命题④，这里要注意，对于正项级数，若极限存在，且，则级数收敛．但与有本质区别，由可能得，这时比值判别法失效．例如：取，则，但发散，因此命题④不正确． 综上所述，可知应选B． 【例2】设幂级数的收敛域为（－4，2），则幂级数的收敛区间为______． 解 设，则由题设知幂级数的收敛半径为3．由幂级数的性质，级数的收敛半径也是3，显然，幂级数有相同的收敛半径3． 由，可得幂级数的收敛区间为（0，6）． 【例3】级数的收敛域为______． 解 故当时，原级数绝对收敛． 又当时，有 此级数满足交错级数收敛的条件，故原级数在处条件收敛． 当时，原级数化为，此级数是发散的，故该级数的收敛域为． 【例4】幂级数的收敛域为______． 解 由于 ， 所以收敛半径为，从而幂级数的收敛区间满足，即为（1，3）． 当时级数收敛．当时级数也收敛，故题中幂级数的收敛域为[1，3]．