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第五讲 多元正态性质补充与极限定理 4+13 （3＋10） 本讲内容 (5.1 多元正态重要性质补充与应用 (5.2 极限定理的概念和内容 本讲提要 §5.1 多元正态分布的重要性质补充与应用 5.1.1 多元正态分布与重要性质补充 性质1 (X1, X2, …, Xn) n维正态 ( X1, X2, …, Xn的任意（非平凡）的线性组合 l1X1+ l2X2+…+ lnXn 服从一维正态分布，此处不全为0. 性质2（线性变换不变性） 若(X1, X2, …, Xn)服从n维正态分布, 设Y1, Y2, …, Yk是Xj (j =1,2,…,n)的线性函数, 相应系数矩阵的秩为k，则 (Y1, Y2, …, Yk)也服从k维正态分布. 特别地, 二维正态的满秩变换, 仍为二元正态的. 性质3 设(X1, X2, …, Xn)服从n维正态分布, 则“X1, X2, …, Xn相互独立”与“X1, X2, …, Xn两两不相关”是等价的. 5.1.2 二元正态重要补充性质的应用 利用上述性质，可以使许多问题大大简化. 下面几个例子, 清楚地表明n元正态分布的这三个性质, 在应用中的优势. [ 典型例题 ] 二元正态重要补充性质的应用 例5.1.1 设X1, X2 iid, ~ N (0, ( 2), 令 问Y1和Y2同分布吗? 独立吗? 【Y1和Y2都是正态的. 计算知同分布, ~. 不相关；由于 (Y1, Y2 )为二元正态，知Y1与Y2不独立. 】 例5.1.2 设X1, X2, …, Xn iid, ~ N((, ( 2), 求, 其中. 解 是的线性和， 故是一元正态随机变量, 且 。 例5.1.3 (00-1-2(5)) 设X和Y的方差存在且大于0，则D(X+Y) =D(X)+D(Y) 是X和Y A) 不相关的充分条件, 但不是必要条件; B) 独立的必要条件, 但不是充分条件; C) 不相关的充分必要条件; D) 独立的充分必要条件. 【C 】 【例 设二维rv (X, Y)服从二维正态分布，则rv (=X +Y与η=X (Y不相关的充分必要条件为 A) EX = EY; B) EX2??(EX)2 = EY 2? (EY)2; C) EX2 = EY 2; D) EX2 + (EX)2 = EY 2+ (EY)2; 【B】 例5.1.4*(00-4-11[8]) 设二维rv (X,Y)的pdf为 f (x, y) = [( 1(x, y)+ ( 2(x, y)]/2 其中( 1(x, y)和( 2(x, y)都是二维正态pdf, 且它们对应的二维rv的相关系数分别为1/3和 ?1/3. 它们的边缘pdf所对应的rv的数学期望都是0, 方差都是1. 1) 求rv X和Y的pdf f1(x)和f2(x), 及X和Y的相关系数(可以直接利用二维正态密度的性质) 2) 问X和Y是否独立?为什么? 解 1) 以( i(x, y)为pdf 的二维rv (Ui, Vi), 由设及二元正态性质, 知 (Ui, Vi) ~ N(0, 0, 1, 1, (-1/3) i+1), 其分量Ui和Vi pdf 分别记为( i1(x)和( i2( y))，i =1, 2, 则 ( 11(x)= ( 21(x), ( 12( y)= ( 22( y) 同理 . 由是 , 故 . 而 . 故所求的相关系数为 2) 由于f (x, y) = [( 1(x, y)+ ( 2(x, y)]/2, 及 和 故 可见, 因此X 和Y不独立. 】 本题误区: 总觉得(X,Y)是二元正态. 本题给出一个分量是正态而联合起来不是二元正态的例子, 也给出一个不相关但是不独立的例子! 本题说明: 正确掌握概念是何等重要. §5.2 极限定理 极限定理是概率论基础研究的深入. 从频率稳定性引入大数定理, 从Galton钉板的落点分布引入中心极限定理, 正确了解大数定理和中心极限定理的概念, 在分析比较的基础上, 掌握主要极限定理的条件和结论. 5.2.1 极限定理的概念和意义 定义. (大数定律） (中心极限定理) 5.2.2 主要极限定理的条件和结论 主要极限定理的条件和结论, 汇集于下表: 极限定理 条件:一般rv列 条件:Bernulli列 大数(切贝雪夫) 不相关 c ( - (辛钦) iid时：存在( - 中心(列维-林德伯格) iid时：0( ( - 一般rv列 Bernoulli列 极限定理 结论 极限定理 结论 大数 (切贝雪夫) 大数 (贝努利)