青岛版数学九年级上册3.1垂径定理案例分析.ppt

3.1 垂径定理 定理 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两 条弧. ●O A B C D M└ CD⊥AB, 如图∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 条件 CD为直径 CD⊥AB CD平分弧ADB CD平分弦AB CD平分弧ACB 结论 CD⊥AB, AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由. 过点M作直径CD. ●O 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 小明发现图中有: C D 由 CD是直径 AM=BM 可推得 ⌒ ⌒ AC=BC, ⌒ ⌒ AD=BD. ● M A B 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 探索规律 思考： 平分弧的直径会垂直平分弧所对的弦吗？ CD⊥AB, 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由. ●O 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 小明发现图中有: C D 由 CD是直径 AC=BC 可推得 ⌒ ⌒ AD=BD. ● M A B AB是⊙O的一条弧,且AC=BC. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AM=BM 你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的! 定理的逆定理 如图,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果在下列五个条件中: 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. ●O A B C D M└ ① CD是直径, ③ AM=BM, ② CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 注意 垂径定理及逆定理 ●O A B C D M└ 条件 结论 命题 ①② ③④⑤ ①③ ②④⑤ ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ ②④ ①③⑤ ②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ ③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦. （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧 判断 （1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………………………………………..( ) （2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……………………………………..( ) （3）不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………………………………………...( ) （4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………………………………………( ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ） × √ × × √ 一、判断是非： （6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 （7）平分弦的直线，必定过圆心。 （8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。 ? ? ? A B C D O (6) A B C D ?O (7) A B C D ?O (8) （9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。 （10）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 ? ? ? A B C ?O (9) A B C D ?O (10) A B C D ?O (11) E 例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 解:连接OC. ● O C D E F ┗ 老师提示: 注意闪烁的三角形的特点. 赵州石拱桥 1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 你是第一个告诉同学们解题方法和结果的吗？ 赵州石拱桥 解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm， 经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根 据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高. 由题设 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 解得 R≈27.9（m