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垂径定理三种语言 1.定理 垂直于弦的直径,平分弦且平分弦所的两条弧 ●O A B C D M└ CD⊥AB, 如图∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使AE=BE (1)CD⊥AB吗?为什么? (2) · O A B C D E ⌒ AC与BC相等吗? AD与BD相等吗?为什么? ⌒ ⌒ ⌒ 三、 ③AM=BM, 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ⌒ ⌒ ④AC=BC, ②CD⊥AB, 由 ① CD是直径 ③ AM=BM ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 可推得 D C A B E O 推论: · O A B C D E 若直径平分弦(弦不是直径),则这条直径垂直于弦,且平分弦所对的两条弧. 归纳: 或者说:若直径平分一条不是直径的弦,则这条直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 几何语言表述: AC=BC CD⊥AB, 由 CD是直径 AE=BE 可推得 ⌒ ⌒ AD=BD ⌒ ⌒ D C A B E O 定理及推论,总结:一条直线只需满足:条件(1)过圆心(2)垂直于弦,(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧,(5)平分弦所对的劣弧.中的任意两个条件,就能推出其它三个.简称“知二推三”. 驶向胜利的彼岸 挑战自我填一填 1、判断: ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. ( ) (2)平分弦的直径一定垂直于弦.( ) . (3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. ( ) ? ? √ 小试牛刀:如图,已知在⊙O中,弦AB的长为8厘米,圆心O到AB的距离为3厘米,求⊙O的半径。 解:连结OA,作OE⊥AB于 点E,则OE=3厘米,AE=BE. ∵AB=8厘米 ∴AE=4厘米 在RtAOE中,据勾股定理有OA=5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。 注意:圆心到弦的距离叫弦心距 . A E B O ⊙O中最长的弦是多少呢? 解决求赵州桥拱半径的问题 如图,用AB表示主桥拱,设AB所在圆的圆心为O,半径为R.过圆心O 作弦AB 的垂线OC,垂足为D,OC与AB 相交于点D,根据前面的结论,D 是AB 的中点,C是AB的中点,CD 就是拱高.AB=48米,CD=16米 B O D A C R 实践应用: ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⊙O半径为10,弦AB=12,CD=16, 且AB∥CD.求AB与CD之间的距离. 拓广探索 二 . D B A C . D B A C 如图,AB是⊙O的一条弦, CD是直径,且AE=BE OE=5,AB=24,求⊙O的半径 · O A B C D E 练一练: 驶向胜利的彼岸 挑战自我画一画 2.已知:如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB<CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 : . 图中相等的劣弧有: . F E O M N A B C D 及时反馈 已知:如图,直径AB⊥CD,垂足为P。 ⑴若半径R=5,CD=8,求OP、BP的长。 ⑵若半径R=2,OP=1,求CD、BP的长。 P O C D B A 1.如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证四边形ADOE是正方形. D · O A B C E 证明: ∴四边形ADOE为矩形, 又 ∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形. 提高练习 2.已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点。你认为AC和BD有什么关系?为什么? 证明:过O作OE⊥AB,垂足为E, 则AE=BE,CE=DE。 ∴ AE-CE=BE-DE 即 AC=BD . A C D B O E 注意:解决有关弦的问题,常过圆心作弦的弦心距,或作垂直于弦的直径,它是一种常用辅助线的添法. 判断下列说法的正误 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑥在圆中,如果一条直线经过圆心且平分弦,
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