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第四章 Z变换 1 Z变换的定义 (1) 序列的ZT： (2) 复变函数的IZT：，是复变量。 (3) 称与为一对Z变换对。简记为或 (4) 序列的ZT是的幂级数。代表了时延，是单位时延。 (5) 单边ZT： (6) 双边ZT： 2 ZT收敛域ROC 定义：使给定序列的Z变换中的求和级数收敛的z的集合。 收敛的充要条件是它 判别其收敛性的方法：(对) 比值法： 根值法： (4) 有限长序列的ROC 序列在或(其中)时。 收敛域至少是。 序列的左右端点只会影响其在0和处的收敛情况： 当时，收敛域为(除外) 当时，收敛域为(除外) 当时，收敛域为(除外) 右边序列的ROC 序列在时。 如果，则序列为因果序列。 ROC的情况： 当时，ROC为； 当时，ROC为。 左边序列的ROC 序列在时。 如果，则序列为反因果序列。 ROC的情况： 当时，ROC为； 当时，ROC为。 双边序列的ROC 序列在整个区间都有定义。 双边序列可以看成是左边序列和右边序列的组合，于是 如果存在且，则双边序列的ROC为，否则，ROC为空集，即双边序列不存在ZT。 注意： 求得的是级数收敛的充分而非必要条件，实际收敛域可能会更大； 实际的离散信号通常都是因果序列，此时单边ZT与双边ZT是一致的，收敛域也相同，都是z平面上的某个圆外面的区域。 关于极点与ROC关系的一些结论： 一般地讲，序列的ZT在其ROC内是解析的，因此ROC内不应包含任何极点，且ROC是连通的。 序列ZT的ROC是以极点为边界的。 右边序列ZT的ROC，是以其模最大的有限极点的模为半径的圆外面的区域(不包括圆周)。 左边序列ZT的ROC，是以其模最小的非零极点的模为半径的圆内部的区域(不包括圆周)。 双边序列ZT的ROC，是以模的大小相邻近的两个极点的模为半径的两个圆所形成的圆环区域(不包括两个圆周)。 3 常用序列及其ZT 单位冲激序列((n) 定义： ZT： ROC： 注意：单位冲激序列不是单位冲激函数的简单离散抽样。 单位阶跃序列u(n) 定义： ZT： 序列的单边ZT用双边ZT表示为： 序列是因果序列的充要条件是： 序列是反因果序列的充要条件是： 矩形脉冲序列GN(n) 定义： ZT： () 注意：矩形脉冲序列亦非单位矩形脉冲信号的简单离散抽样，它们之间还存在一个时移关系。 单位斜变序列nu(n) 单边指数序列anu(n) 单边正、余弦序列： ，() ，() ， ， ， (7) 应尽可能利用常用ZT对和ZT基本性质求解一般序列的ZT 4 ZT的性质 (1) 线性性： () (2) 时域平移性： (i) 双边ZT： (a) 左移： () (b) 右移： () (c) 序列时移最多只会使ZT在处的零、极点情况发生变化。 (ii) 单边ZT： 左移： 右移： () 对因果序列： (3) 时域扩展性： 定义：，a 是扩展因子。 a1 时，相当于在原序列每两点之间插入(a-1)个零。 a-1时，相当于原序列先反褶，然后每两点之间插入(-a-1)个零。 ROC： 或 如序列是偶对称的，则 如序列是奇对称的，则 如果一个偶对称或奇对称序列的ZT含有一个非零的零点(或极点)，那么它必含有另外一个与互为倒数的零点(或极点)。 (4) 时域共轭性： (i) () (ii) 如果序列是实序列，则 (iii) 如果实序列的ZT含有一个零点(或极点)，那么它必含有另外一个与之共轭对称的零点(或极点)。 (5) z域尺度变换(或序列指数加权)性： 用复指数序列去调制一个序列时，可以调制其相位特性。 (6) z域微分(或序列线性加权)性： (i) () (ii) ROC唯一可能的变化是加上或去掉0或。 (iii) () 初值定理：是因果序列，，则。 终值定理：是因果序列，，则 只有在存在时才能用, 此时的极点必须在单位圆内(如果位于单位圆上则只能位于，且是一阶极点)。 (9) 时域卷积定理 定义： 定理：序列卷积的ZT等于其ZT的乘积，即 卷积的ZT的ROC至少是原序列ZT的ROC的交集。当出现零极点相抵时，ROC可能会扩大。 (vii) (10) z域卷积定理： 设和，则 为收敛域重叠部分内逆时针旋转的围线 为收敛域重叠部分内逆时针旋转的围线 的ROC： (11) 帕斯瓦尔定理： 5 逆Z变换的求解 部分分式展开法：基本思路：把展开成常见部分分式之和，然后分别求各部分的逆变换，最后把各逆变换相加即可得到。通常做法展开的对象是，而不是。 幂级数展开法：把按展成幂级数，那么其系数组成的序列即为所求。这种方法有时给不出一个闭式表达式。 留数法： 设是的阶极点，则在该极点处