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信号系统八(讲)
第八章 离散时间系统的变换域分析
§8-1 引 言
变换域分析的目的:
类似于连续时间系统的L.T.,离散时间系统通过Z变换(Z.T.),可以将原来求解差分方程的问题转变为求解代数方程的问题,其目的是通过变换域分析将原来的求解问题简化。
Z变换的发展史
十八世纪,英国数学家棣莫弗(De Moivre)提出生成函数,并应用于概率论。实质上,生成函数与Z变换的形式相同。从十九世纪拉普拉斯(P.S.Laplace)到二十世纪沙尔(H.L.Seal)等人都对其进行了进一步深入研究。
二十世纪六十年代起,由于计算机技术和控制技术的飞速发展,抽样控制理论的应用,离散信号处理和数字信号处理得到了广泛应用。作为离散时间系统分析的重要工具,Z.T.得到了很大的发展,其用途甚至超过了L.T.
离散时间系统的分析方法
离散时间系统的Z域分析法,这在本课程进行研究。
离散时间系统的频域分析法,即利用离散傅里叶变换(DFT)——在离散时间系统分析中同样占用很重要的地位,而DFT的快速算法——FFT——的提出使得DFT在各种信号处理场合得到的广泛的应用。这在数字信号处理课程中进行。
除了DFT以外,还有如沃尔什变换等分析方法,在离散信号处理中同样得到的很广泛的应用。这在数字信号处理课程中进行。
§8-2 Z变换定义及其收敛区域
Z变换的定义
Z变换的定义可以从纯数学的角度进行,也可以通过信号分解的角度提出,后者更加容易理解。本课程中,通过连续时间系统的F.T.导出Z.T.。
离散时间信号f(k)可以看成是连续时间信号通过抽样而得到的冲激序列:
——
对其进行F.T.:
根据Dirichlet条件,只有在信号满足绝对可积条件的情况下才成立,即满足绝对可和条件:时,FT才存在。如果不满足,可以利用LT中的方法,在信号上首先乘以一个衰减因子,然后再求FT。这样一来上式就可以变成为:
令,代入上式,得:
上式称为序列f(k)的Z变换。F(z)被称为序列f(k)的生成函数。
上面的推导反映了抽样信号的FT与用其冲激序列的强度构成的信号序列的ZT之间的关系,即:
而抽样信号的LT与用其冲激序列的强度构成的信号序列的ZT之间的关系为:
在某些情况下,Z变换的求和限可以简化:
如果f(k)是一个左边序列(其在k0时才有非零值),则:
如果f(k)是一个右边序列,则:
如果f(k)是一个有限长序列,则:
单边Z变换与双边Z变换
双边Z变换与单边Z变换的区别从应用上考虑,从实际的因果系统和非因果系统上考虑。
本课程主要考虑单边Z变换:
Z变换的收敛域
ZT是一个级数求和问题,ZT存在意味着级数收敛。Z变换的收敛域也就是使这个级数收敛的全部Z的集合,即对于任意序列f(k)的z变换,使存在且有限的z值的取值范围称为的收敛区。
级数收敛的判别方法:
比值法:
根值法:
其中,为其级数的第k项。
几种常见序列的收敛域:
右边序列:
利用根值法,有:
所以,右边信号的收敛域为是半径为R、圆心在原点的圆以外的全部区域。
例:单边指数序列的收敛域。
解:用上面的结论(根值法):
思考:如果右边序列的起始点不在0,收敛区间应该怎样?
提示:收敛域是否包含+?
左边序列
同上可得左边序列的收敛域为:
即左边信号的收敛域为是半径为R、圆心在原点的圆以内的全部区域。
例:单边指数序列的收敛域。
解:用上面的结论(根值法):
思考:如果左边序列的起始点不在-1,收敛区间应该怎样?
提示:收敛域是否包含原点?
双边序列
与连续时间系统一样,双边序列也可以看成右边序列和左边序列之和,收敛域为两个序列的公共收敛域。收敛域可能存在(当两个序列的收敛域有公共区间时),也可能不存在(当两个序列的收敛域没有公共区间)。如果存在,其收敛域为一个环行区域。
例:求序列的收敛区。
解:它的收敛域为左边序列和右边序列的公共收敛区间。
当时,两者没有公共收敛区间,Z变换不存在。
当时,收敛域为
有限长序列:(实际上,收敛域是按照1)-3)的情况确定。)
当或,收敛域
当,,收敛域
当或,收敛域
当,收敛域
常见右边序列的ZT
单位函数:
,收敛域:全平面。
单位阶跃信号:
收敛域:
单边指数序列:
,收敛域:
单边正弦和余弦序列:
可以通过上面指数序列推导出,见P386-387
其它常见ZT:见P387,表8-1
左边和双边序列的ZT计算方法:
左边序列ZT求法:
由此可以得到由右边序列计算左边序列ZT计算方法:
将序列f(k
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