元积分学的几何应用全程版.docVIP

一元积分学的几何应用（公共） 一、考试内容 （一）一元积分学的几何应用 1、平面图形的面积 2、旋转体体积 注：利用平面图形的面积与旋转体体积公式时，有时可借助参数方程或极坐标表示 3、曲线的弧长（数三不要求） 4、旋转体的侧面积（数三不要求） 二、典型例题 （一）一元积分学的几何应用 例1、如图，连续函数在上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设，则有（C） （A） (B) （C）（D） 提示：，故选（C）. 例2、求由曲线及在上半平面围成图形的面积及周长. 解： ，或 . 例3、设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，则． 提示：，． 例4、求曲线和直线所围成图形绕极轴旋转一周的. 解：. 例5、位于第一象限的图像与轴、轴所围区域的面积为． 提示：面积． 例6、曲线的弧长． 提示：． 例7、过上一点做切线，问为何值时所作切线与抛物线所围区域的面积最小？ 解：易得两曲线交点 ，易知时． 例8、设D是位于曲线下方、轴上方的无界区域， （1）求区域D绕轴旋转一周所成旋转体的体积;（2）当为何值时，最小? 提示： (1) (2) 三、课后练习 （一）一元积分学的几何应用 1（A）、曲线与轴所围成图形的面积可表为（C） （A） （B） （C） （D） 2（A）、设在区间上连续，则曲线夹在之间的平面图形绕直线旋转而成的旋转体体积为（B） 3（A）、如图，函数在区间上有连续的导数，则定积分等于（C） （A）曲边梯形面积 （B） 梯形面积 （C）曲边三角形面积 （D）三角形面积 4（A）、由曲线和直线及在第一象限中所围图形的面积为． 5（A）、假设曲线，轴和轴所围成区域被曲线分为面积相等的两部分，则． 6（A）、过原点作的切线，其与及轴所围区域为，则的面积为， 绕旋转一周所得的旋转体的体积为． 7（A）、已知曲线与曲线在点处有公切线，求①常数及切点；②两曲线与轴所围平面区域的面积；③该区域绕轴旋转一周所得旋转体体积．[① ② ③] 8（A）、求曲线所围图形的面积，并求该平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积．（） 9（A）、设， 及轴所围成的平面区域为，则绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为，绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为． 10（A）、设有曲线，过原点作其切线，求由此曲线，切线及轴围成的平面图形绕轴一周所得到的旋转体的表面积[] 11（A）、求围成的平面图形绕轴旋转所得的曲面面积，并求其绕轴旋转所得的旋转体体积．（，） 12（A）、 设位于曲线下方，轴上方的无界区域为,则绕轴旋转一周所得空间区域的体积是． 13（A）、设L极坐标方程为，则L所围的区域面积为． 14（A）、设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0边到的一段弧与极轴所围成的图形面积为． 15（A）、与轴、轴围成图形的面积为． 16（B）、设，则其所示曲线与直线及轴，轴围成的区域绕轴旋转一周生成的旋转体体积． 17（A）、求摆线一拱的弧长． 18（A）、设曲线由确定，则该曲线对应于的弧长为． 19（B）、求心形线的全长，其中 ． （） 20（A）、已知曲线的斜率为，则该曲线在中的弧长为． 21（A）、求曲线的一条切线，使该曲线与切线及直线所围成图形面积最小．（） 22（A）、设曲线与交于点，过坐标原点和点的直线与曲线围成一平面区域，问为何值时，该图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？（） 23（A）、设与抛物线所围面积为，它们与所围面积为 ①试确定，使达到最小，并求出最小值; ②求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积．[] 24（B）、设，S表示夹在x轴与曲线y = F(x)之间的面积. 对任何t 0， 表示矩形(t ( x ( t，0 ( y ( F(t)的面积. 求 (I) S(t) = S (的表达式；，t ( (0 , +(). (II) S(t)的最小值．[是最小值] 25（B）、设及 ，若表示位于直线左下方部分的面积，则 ． 26（B）、曲线与直线,及围成一曲边梯形该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体，其体积为，侧面积为，在处的底面积为, ①求 ； ②计算．（① 2 ② 1） 27（B）、已知曲线L的方程 （I）讨论L的凹凸性；（凸的）（II）过点引L的切线，求切线的方程；（） （III）求此切线与L（对应于的部分）及x轴所围成的平面图形的面积．（）