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一九八七年数学一试题 一、填空题（本题满分15分，每小题3分） (1)与两直线及 都平行，且过原点的平面方程为 . (2)当x= 时，函数y=x2x取得极小值. (3)由曲线y=lnx与两直线y=(e+1)-x及y=0所围成的平面图形的面积是 . (4)设L为取正向的圆周x2+y2=9,则曲线积分的值是 . (5)已知三维线性空间的一组基底为α1=(1,1,0),α2=(1,0,1),α3=(0,1,1),则向量u=(2,0,0)在上述基底下的坐标是 . 二、（本题满分8分）求正的常数a与b，使等式成立. 三、（本题满分7分） （1）（3分）设f,g为连续可微函数，u=f(x,xy),v=g(x+xy),求. （2）（4分）设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B，其中A=，求矩阵B. 四、（本题满分8分）求微分方程的通解（一般解），其中常数a0. 五、选择题（本题满分12分，每小题3分） （1）设常数k0， （A）发散. （. （C）条件收敛. （D）收敛或发散与k的取值有关。 答：（ ） （2）设f(x)为已知连续函数，，其中s0,t0，则I的值 （A）依赖于s和t. （B）依赖于s,t,x. （C）依赖于t和x,不依赖于s. （D）依赖于s,不依赖于t. 答：（ ） （3）设，则在点x=a处 （A）f(x)的导数存在，且. （B）f(x)取得极大值. （C）f(x)取得极小值. （D）f(x)的导数不存在. 答：（ ） （4）设A为n阶方阵，且A的行列式|A|=a≠0，而A*为A的伴随矩阵，则|A*|等于 （A）a. （B）. （C）an-1. （D）a. 答：（ ） 六、（本题满分10分）求幂级数的收敛域，并求其和函数. 七、（本题满分10分）计算曲面积分 ， 其中S是由曲线（1≤y≤3）绕y轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与y轴正向的夹角恒大于 八、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间（0，1）内，且，证明在（0，1）内有且仅有一个x，使f(x)=x. 九、（本题满分8分）问a,b为何值时，线性方程组 有唯一解、无解、有无穷多组解？并求出有无穷多组解时的通解. 十、填空题（本题满分6分，每小题2分） （1）设在一次试验中事件A发生的概率为p，现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为 ；而事件A至多发生一次的概率为 . （2）三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球.现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 .已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 . （3）已知连续随机变量X的概率密度为 则X的数学期望为 ；X的方差为 . 十一、（本题满分6分）设随机变量X，Y相互独立，其概率密度函数分别为 求随机变量Z=2X+Y的概率密度函数. 一九八七年试卷二 填空题（同试卷一第一题） 二、（本题包含两个小题，满分14分） （1）（6分）计算定积分. （2）（同试卷一第二题） 三、（本题满分7分）设z=f(u,x,z),u=xey,其中f具有二阶连续偏导数，求. 四、（同试卷一第四题） 五、（同试卷一第五题） 六、（同试卷一第六题） 七、（同试卷一第七题） 八、（同试卷一第八题） 九、（同试卷一第九题） 十、（本题满分6分）设λ1，λ2为n阶方阵A的特征值，且λ1≠λ2，而x1,x2分别为对应的特征向量，试证明x1+x2不是A的特征向量. 一九八七年试卷四 一、（10分）您认为结论正确，在括号内打“√”，否则打“×”. (1). ( ) (2). ( ) (3)若级数和均发散，则级数也必发散. ( ) (4)假设D是矩阵A的r阶子式,且D≠0，但含D的一切r+1阶子式都等于0.那么矩阵A的一切r+1阶子式都等于0. ( ) (5)连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0. ( ) 二、（10分）在每小题的四种答案中，选一正确答案将其代号填入题中空格（每小题2分）. (1)函数 在其定义域内连续. (A)f(x)=lnx+sinx (B) (C) (D) (2)若函数f(x)在区间(a,b)内可